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Egalité entre deux ensembles


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1 Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 17:51

Polochon

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Posteur Motivé
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Bonjour à tous !

J'entre en prépa MPSI cette année et j'ai un TD à "préparer" (c-à-d regarder pour savoir faire selon le prof) et je bloque sur un des exercices proposés.

En voici l'énoncé :
Soient x et y deux réels tels que \( x\leqslant y \) . Montrer que : \( [x,y]=\{tx+(1-t)y, t \in [0,1]\} \)

J'ai donc voulu procéder par double-inclusion.
j'ai appelé E l'ensemble  \( \{tx+(1-t)y, t \in [0,1]\} \) et voilà ce que j'ai fait :

Soit \( k \in E \)
Soit \( t \in [0,1] \)
\( k=tx+(1-t)y \)

On a \( x \leq y \Rightarrow  x(1-t) \leq y(1-t) \Rightarrow x-xt \leq y-yt \Rightarrow x \leq k \)

D'autre part \( x \leq y \Rightarrow xt \leq yt \Rightarrow xt \leq y(t-1+1) \Rightarrow xt \leq y-y(1-t) \Rightarrow k \leq y \)

On prouve ainsi que  E est inclus dans [x,y]

Ensuite j'essaie de montrer que [x,y] est inclus dans E mais je n'y parviens pas.
Soit \( m \in [0,1] \)
alors \( x \leq m \leq y \)
J'ai essayé d'encadrer m par \( tx+(1-t)y \) avec \( t \in [0,1] \) pour montrer que m peut s'écrire ainsi mais je n'arrive qu'à montrer que m est supérieur ou égal à \( tx+(1-t)y \)

Donc je cherche maintenant un petit peu d'aide ! Merci Smile

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2 Re: Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 18:30

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Hello,

Bonne initiative pour la double-inclusion Smile 

Pour ta deuxième inclusion... Si tu prends un élément \(k\in[x,y]\), il suffit de "trouver" un \(t\in[0,1]\) tel que \(k=tx+(1-t)y\) et tu pourras conclure que \(k\) appartient à ton ensemble \(E\).

Je ne sais pas si ça t'aide, si ça ne t'aide pas, je te donnerai plus d'indices !

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3 Re: Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 18:57

Polochon

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Posteur Motivé
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C'est à dire simplement isoler t et prouver alors que l'expression de t (en fonction de x et y) appartient à [0,1] ?

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4 Re: Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 19:03

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Tu as l'air d'avoir compris, oui ! Je te conseille d'essayer au brouillon. Puis de voir pour pas se foirer dans la rédaction.

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5 Re: Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 19:31

Polochon

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Posteur Motivé
Posteur Motivé
D'accord ! \(  \)

En fait il suffit juste de montrer que k peut s'écrire \( tx+(1−t)y \) avec \( t \in [0,1] \) et faire ça c'est comme montrer qu'il en existe un pour tout k appartenant à \( [x,y] \) ?

Si c'est le cas c'est bien, c'est ce que je n'avais pas compris !

Pour la rédaction je pense à ça (je ne rédige plus qu'un sens de l'inclusion) :

Soit \( k \in [x,y] \)
On cherche à prouver qu'il existe un \( t \in [0,1] \) tel que \( k=tx+(1−t)y \)

Supposons qu'il en existe un.
J'obtiens ceci après une "analyse"
On a alors \( t= \frac{y-k}{y-x} \) si \( x \neq y \)  
De plus comme \( x \leq k \) on a \( -k \leq -x \) et donc \( y-k \leq y-x \) donc \( t \leq 1 \) et comme \( x,k \leq y \) on a \( t >= 0 \) Je ne sais pas si cette partie se met dans la synthèse
et  \( t=\lambda \) avec \( \lambda \in [0,1] \) si \( x=y \)  

Je fais alors la synthèse
1er cas : \( x \neq y \)
Posons \( t= \frac{k-y}{x-y} \)
On vérifie alors \( k=tx+(1−t)y \)

1er cas : \( x = y \)
Posons \( t=\lambda \) avec \( \lambda \in [0,1] \)
On vérifie alors \( k=tx+(1−t)y \)   car k = x

Dans tous les cas il existe \( t \in [0,1] \) tel que \( k=tx+(1−t)y \)
On a donc bien [x,y] inclus dans E

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6 Re: Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 20:55

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Tu sembles avoir bien compris, mais quelques remarques quand même.

Je te suggère de te débarrasser en premier du cas où \(x=y\). Pour ce cas :

Si \(k\in[x,y]\), alors \(k=x\) et en prenant \(t=1\), on a bien :

$$k=1*x+(1-1)y=x$$

Ensuite, pour le cas où \(x\neq y\), je te conseille de faire sortir "comme par magie" ton \(t\), ensuite tu montres qu'en remplaçant \(t\) par cette recette magique dans la formule, on tombe bien sur \(k\). Finalement, tu montres que c'est bien compris entre \(0\) et \(1\).

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7 Re: Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 21:19

Polochon

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Posteur Motivé
Posteur Motivé
Très bien ! Donc pas besoin d'analyse synthèse en fait ?

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8 Re: Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 21:34

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Je ne sais pas ce que tu entends par "analyse synthèse", ça doit être une méthode de présentation d'un de tes profs, non ?

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9 Re: Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 21:41

Polochon

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Posteur Motivé
Posteur Motivé
Oui effectivement, quoique assez répandue apparemment surtout en prepa.

Voilà ce qu'en dit Wikipedia :

Un raisonnement par analyse-synthèse se déroule en deux étapes :

l'analyse : on raisonne sur une hypothétique solution du problème et on accumule des déductions de propriétés qu'elle doit vérifier, du seul fait qu'elle est solution ;
la synthèse : on examine tous les objets vérifiant les conditions nécessaires précédemment accumulées (ce sont les seuls candidats pouvant être des solutions) et on détermine, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions.

Souvent on l'utilise pour déterminer un ensemble de solutions ou pour prouver l'existence d'un objet.

En tout cas, un grand merci pour votre aide ! Smile

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10 Re: Egalité entre deux ensembles le Sam 5 Sep - 21:44

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Oh d'accord, je ne connaissais pas le nom de cette "méthode"... Mais je n'ai pas fait de prépa aussi, c'est peut-être pour ça  afro

Merci pour l'info quand même et j'espère que tu as tout compris ! Si tu as encore des questions sur ce qu'on vient de faire, hésite pas à demander !

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