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Intervalles bornés et non-bornés


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1 Intervalles bornés et non-bornés le Sam 5 Sep - 18:54

Foozi

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Me revoilà ! Alors je viens juste de découvrir le prince d'intervalles bornés et non bornés, et je souhaiterais avoir quelques exercices du genre.
Je connais les notions d'intervalles bornés : ouvert / fermé / ouvert en "a" / ouvert en "b", et non bornés du style : [a; ∞ +[ ou bien ]-∞ ; b] etc ... ^^

Merci !

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Professeur J

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Ton premier message sur le forum ! Smile 
En cours, tu as fait quoi pour le moment ? Juste expliquer ce que c'est ?

Par exemple, pour commencer, tu peux décrire l'ensemble des solutions d'une inéquation, par exemple :


Donner sous forme d'intervalle l'ensemble des réels \(x\) tels que :


$$\frac{3x-2}{-2-4} < x+1$$

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Foozi

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Posteur Motivé
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Alors La notion d'intervalle :
On appelle un intervalle l'ensemble des nombres déterminés par une inégalité ou un encadrement (en l'occurrence ici, on fait de l'encadrement, pas encore de l'inégalité).
a. Intervalles bornés
L'ensemble des réels x tels que a =< x =< b
Intervalle Fermé [a;b]
L'ensemble des réels x tels que a < x < b
Intervalle ouvert ]a;b[
L'ensemble des réels x tels que a < x =< b
Intervalle ouvert en a ]a;b]
L'ensemble des réels x tels que a =< x < b
Intervalle ouvert en b [a;b[

(si on encadre avec le signe strictement inférieur, on exclu a pour aa et b sont les bornes de l'intervalle
bref pour les non bornés c'est la même chose sauf que d'un côté y'a pas de "borne" donc se note [a; infini +[ ou ] - infini ; b[
bref, j'aimerais des exos du type "Donner l'intervalle qui correspond à chaque inégalité ou donner l'inégalité qui correspond à chaque intervalle. Ou encore donner l'inégalité et l'intervalle qui correspondent à la zone définie sur l'axe gradué. (axe sur lequel on a placé a et b, on fermera avec [ pour a et ] pour b, et on ouvrira avec ] pour a et [ pour b, en plaçant ces crochets sur l'axe)

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Professeur J

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Ok, donc tu peux faire le premier exo que je t'ai filé Smile

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Foozi

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Posteur Motivé
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Alors voilà, j'ai fait comme ceci :


(3x-2)/-2-4 < x+1

3x/-4 < x+1

(3x/-4) - x < 1

(3x/-4) - 4x/-4 < 1

- x / -4 < 1

x < 4

et donc x vérifie l'inégalité ]- infini; 4[

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Professeur J

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Attention, dès le début il y a un souci, tu n'as pas le droit de simplifier par \(-2\) !

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Foozi

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Je corrige mon affreuse erreur :

(3x-2)/-2-4 < x+1

-(3x/6) - (2/6) < x+1

-(3x/6) - x - (2/6) < 1

-(3x/6) - (6x/6) < (2/6) + 1

-(9x/6) < 8/6

-9x < 8

-9x/-9 > 8/-9

x > -(8/9)

et donc x définit l'inéquation -(8/9) < x

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Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Attention, sur ta deuxième ligne, tu as une erreur de signe (c'est +2/6). Mais tu te compliques un peu la vie je trouve, tu obtiens :

$$\frac{3x-2}{-6} < x+1$$ 

Et donc :

$$3x-2 > -6x-6$$

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