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Term. S : DM étude de fonction-suite

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Skywear


Posteur Motivé
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Salut, je dois étudier la fonction-suite fn(x) = x^n*racine(1-x), avec n€N => 1 et x€[0;1]

Je peux pas vous envoyer mon sujet (mon pc est vraiment trop super, bref)

On trouve ensuite fn'(x) =

J'ai répondu à 2 questions, je bloque à la 3e.
La 1 c'était simplement montrer que fn'(x) était égal à l'expression ci dessus, pour tout x€[0;1[

Le 2: Etudier la dérivabilité de f en 1 : J'ai calculé fn'(1) et je suis tombé sur une division par 0, j'en ai déduit que la fonction n'était pas dérivable en 1, ça va ou pas ?

Le 3 : Dresser le tableau de variation de fn sur [0;1]

Je bloque à la 3.
Voici grosso modo ce que j'ai fait :

J'ai voulu étudier le signe de la dérivée pour déduire les variations de la fonction.
Vu que x€[0;1[ et n€N=>1 j'ai dit que fn(x) est du signe de 2n-(2n+1)x (les autres expressions sont positives sauf erreur...)
Donc j'ai voulu résoudre -2nx+2n+x = 0 (forme dvlpée de l'expression du dessus)
Or comme 0 <= x < 1, -2nx < 2n donc fn'(x) est toujours positif, donc fn(x) toujours croissante

Sauf qu'en dressant le tableau de variations, j'arrive à l'incohérence suivante : fn(0) = fn(1) = 0... Si la fonction est croissante c'est pas très logique...

Donc voilà je comprends pas ce qui m'a échappé, quelqu'un pourrait m'aider svp ?   Smile
Dites moi si j'ai pas été très clair. (et merci d'avance)

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Professeur J

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Bonsoir,
Très bien pour la première question alors, la dérivée n'était pas si facile que ça.
Quand on te dit "étudier la dérivabilité", généralement, il faut revenir à la définition d'"être dérivable en un point"... :-)

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Skywear


Posteur Motivé
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Merci d'avoir répondu si vite.

Cela signifie que je dois utiliser le taux d'accroissement naturel (la division par 0 ne suffit pas) ?
Je vais voir ça alors ^^

Mais pour la 3, je ne comprends pas ce qui ne va pas

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Professeur J

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On s'en sert pas souvent en exercice. Mais est-ce que tu souviens quand est-ce que, par définition, une fonction est dérivable en un point ?

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Exact, faut voir avec le taux d'accroissement. Je te laisse essayer au brouillon.

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Skywear


Posteur Motivé
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Donc j'ai calculé le T.A.N. (je vais l'appeler comme ça ce sera plus rapide ^^) pour 1, donc [f(1+h) - f1)]/h

Je suis parvenu à

Là pour simplifier par h ça me semble coton... ^^
En développant ça me semble encore pire, j'arrive pas à me dépatouiller avec les racines et les carrés (il doit sûrement y avoir une astuce mais je sèche...)

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Professeur J

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Pour la question 3, le début est pas mal...
On regarde bien le signe de (2n-(2n+1)x).
Si tu poses 2n - (2n+1)x = 0, tu peux isoler ton x.

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Il y a une autre définition de la dérivée, sans le "h" :-)

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f'(a) = lim_(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a)

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Skywear


Posteur Motivé
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Ok merci je vais essayer de calculer f'(a)

Simplement pour le 3, x va dépendre de n ? Vous pouvez m'aiguiller pour la suite de la question ?

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Professeur J

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Ok. Oui, x "dépend" de n, mais ça ne pose pas de soucis car à chaque fois, le n est fixé.

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Skywear


Posteur Motivé
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J'arrive à ça :

Si je dis pas de bêtises j edois calculer la limite du numérateur puis du dénominateur et utiliser limite et quotient

donc : lim_(x->1) x^n*sqrt(1-x)-sqrt(x) = -1
et lim_(x->1) x -1 = 0-

donc lim_(x->1) fn(x) = +oo ?
Mais je vois pas à quoi ça peut me servir, je comprends pas le lien

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Professeur J

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Attention ! Tu as écrit - racine(x), attention tu dois enlever f(1)...

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Posteur Motivé
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Ah oui effectivement je me suis embrouillé...
donc j'arrive sur une forme indeterminée ? (0/0 ?)
Que dois-je en faire ?

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Professeur Al


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Oui trés bien. Maintenant tu dois trouver un moyen d'enlever l'indétermination! Peut-être appliquer des techniques vues en cours? Notamment avec des racines carrées?

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Skywear


Posteur Motivé
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J'ai cherché une méthode pour lever l'indétermination (sur internet parce que dans mon cours j'ai rien trouvé de convaincant... enfin pour s'y retrouver c'est pas facile)
Je suis tombé sur la règle de l'hospital ( http://limite.cours-de-math.eu/regle-hopital.php )
Je l'ai pas vue en cours mais je pense que je peux l'utiliser ?
Je retrouve donc lim_(x->1) fn(x) = fn'(x)  (étant donné que le numérateur c'est fn(x), et que le dénonimateur c'est x-1, je retombe sur la même expression... si je fais de betises en tout cas)
Je tombe sur une limite de 1 en haut et de 0 en bas, et donc la limite est +oo

Or si la limite n'est pas finie la fonction n'est pas dérivable en ce point, donc fn n'est pas dérivable en 1 ? C'est bien ça ?

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Professeur J

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Ce que tu dis semble pas mal. Mais si tu n'as pas appris la règle de l'Hosto, on va faire sans. En tout cas la conclusion est très bien. Pour le faire sans cette règle, essaie de multiplier par racine(1-x) au numérateur et au dénominateur :-)

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Skywear


Posteur Motivé
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Merci ça marche ! Smile
Je vais rédiger tout ça au propre histoire de voir plus clair pour la question 3.

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Professeur J

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Ok y'a encore du boulot mais tu es sur la bonne voie, et motivé :-)

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Posteur Motivé
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En effet : 6 questions pour l'exo 1, et autant voire plus pour le deuxième Sad

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Skywear


Posteur Motivé
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Ok donc j'ai avancé sur la 3 : J'ai essayé de résoudre 2n-(2n+1)x = 0, >0 et <0 (je me demande si c'est la bonne méthode ou je m'embrouille avec mes cours sur l'exponentielle ?)
En isolant le x je trouve x = (2n)/(2n+1)

Ca signifierait donc que la dérivée est négative sur l'intervalle [0;(2n)/(2n+1)] et positive sur [(2n)/(2n+1);1], et donc la fonction serait décroissante puis croissante ?
En cherchant l'image de fn((2n)/(2n+1)), j'arrive à une expression complexe et ça me fait douter quant à la véracité de mes calculs...

Je n'ai pas utilisé la bonne méthode ?

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Professeur J

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Non c'est exactement ce qu'il faut faire. Tu as juste inversé à la fin, tu peux me détailler tes calculs dans les deux cas (< 0 et > 0) ?

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Skywear


Posteur Motivé
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Ben j'ai trouvé que a(x) (2n-(2n+1)x) = 0 ssi x = (2n)/(2n+1)

a(x) > 0
ssi 2n-(2n+1)x > 0
et donc je retombe logiquement sur x > (2n)/(2n+1) (je ne comprends pas vraiment pourquoi il faut refaire ces calculs puisque pour moi il suffit de remplacer = par > ou < non ? )
Et par élimination a(x) < 0 ssi x < (2n)/(2n+1)

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Professeur J

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Regarde donc :
2n - (2n+1)x > 0 donc 2n > (2n+1)x donc (2n)/(2n+1) > x donc x < (2n)/(2n+1)...
Attention à ne pas aller trop vite et à bien détailler :-)

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Skywear


Posteur Motivé
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Ok merci, va falloir que j'arrête de faire ce raccourci...

Mais sinon lorsque je calcule l'image de fn((2n)/(2n+1)) et que je tombe sur j'ai bon ?
Ca me paraît un peu lourd comme expression pour la placer dans un tableau de variations... ^^

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