Page 1 sur 2 • 1, 2
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 20:25
Salut, je dois étudier la fonction-suite fn(x) = x^n*racine(1-x), avec n€N => 1 et x€[0;1]
Je peux pas vous envoyer mon sujet (mon pc est vraiment trop super, bref)
On trouve ensuite fn'(x) = [img]https://2img.net/image.noelshack.com/fichiers/2014/45/1415473108-fuuuuu.jpg[/img]
J'ai répondu à 2 questions, je bloque à la 3e.
La 1 c'était simplement montrer que fn'(x) était égal à l'expression ci dessus, pour tout x€[0;1[
Le 2: Etudier la dérivabilité de f en 1 : J'ai calculé fn'(1) et je suis tombé sur une division par 0, j'en ai déduit que la fonction n'était pas dérivable en 1, ça va ou pas ?
Le 3 : Dresser le tableau de variation de fn sur [0;1]
Je bloque à la 3.
Voici grosso modo ce que j'ai fait :
J'ai voulu étudier le signe de la dérivée pour déduire les variations de la fonction.
Vu que x€[0;1[ et n€N=>1 j'ai dit que fn(x) est du signe de 2n-(2n+1)x (les autres expressions sont positives sauf erreur...)
Donc j'ai voulu résoudre -2nx+2n+x = 0 (forme dvlpée de l'expression du dessus)
Or comme 0 <= x < 1, -2nx < 2n donc fn'(x) est toujours positif, donc fn(x) toujours croissante
Sauf qu'en dressant le tableau de variations, j'arrive à l'incohérence suivante : fn(0) = fn(1) = 0... Si la fonction est croissante c'est pas très logique...
Donc voilà je comprends pas ce qui m'a échappé, quelqu'un pourrait m'aider svp ?
Dites moi si j'ai pas été très clair. (et merci d'avance)
Je peux pas vous envoyer mon sujet (mon pc est vraiment trop super, bref)
On trouve ensuite fn'(x) = [img]https://2img.net/image.noelshack.com/fichiers/2014/45/1415473108-fuuuuu.jpg[/img]
J'ai répondu à 2 questions, je bloque à la 3e.
La 1 c'était simplement montrer que fn'(x) était égal à l'expression ci dessus, pour tout x€[0;1[
Le 2: Etudier la dérivabilité de f en 1 : J'ai calculé fn'(1) et je suis tombé sur une division par 0, j'en ai déduit que la fonction n'était pas dérivable en 1, ça va ou pas ?
Le 3 : Dresser le tableau de variation de fn sur [0;1]
Je bloque à la 3.
Voici grosso modo ce que j'ai fait :
J'ai voulu étudier le signe de la dérivée pour déduire les variations de la fonction.
Vu que x€[0;1[ et n€N=>1 j'ai dit que fn(x) est du signe de 2n-(2n+1)x (les autres expressions sont positives sauf erreur...)
Donc j'ai voulu résoudre -2nx+2n+x = 0 (forme dvlpée de l'expression du dessus)
Or comme 0 <= x < 1, -2nx < 2n donc fn'(x) est toujours positif, donc fn(x) toujours croissante
Sauf qu'en dressant le tableau de variations, j'arrive à l'incohérence suivante : fn(0) = fn(1) = 0... Si la fonction est croissante c'est pas très logique...
Donc voilà je comprends pas ce qui m'a échappé, quelqu'un pourrait m'aider svp ?
Dites moi si j'ai pas été très clair. (et merci d'avance)
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 20:32
Bonsoir,
Très bien pour la première question alors, la dérivée n'était pas si facile que ça.
Quand on te dit "étudier la dérivabilité", généralement, il faut revenir à la définition d'"être dérivable en un point"... :-)
Très bien pour la première question alors, la dérivée n'était pas si facile que ça.
Quand on te dit "étudier la dérivabilité", généralement, il faut revenir à la définition d'"être dérivable en un point"... :-)
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 20:34
Merci d'avoir répondu si vite.
Cela signifie que je dois utiliser le taux d'accroissement naturel (la division par 0 ne suffit pas) ?
Je vais voir ça alors ^^
Mais pour la 3, je ne comprends pas ce qui ne va pas
Cela signifie que je dois utiliser le taux d'accroissement naturel (la division par 0 ne suffit pas) ?
Je vais voir ça alors ^^
Mais pour la 3, je ne comprends pas ce qui ne va pas
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 20:35
On s'en sert pas souvent en exercice. Mais est-ce que tu souviens quand est-ce que, par définition, une fonction est dérivable en un point ?
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 20:36
Exact, faut voir avec le taux d'accroissement. Je te laisse essayer au brouillon.
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 20:45
Donc j'ai calculé le T.A.N. (je vais l'appeler comme ça ce sera plus rapide ^^) pour 1, donc [f(1+h) - f1)]/h
Je suis parvenu à [img]http://www.sciweavers.org/tex2img.php?eq=%20%5Cfrac%7B%20%5Cbig%281%2B2h%2Bh%5E2%5Cbig%29%2A%20%5Cbig%28%20%5Csqrt%7Bh%7D%20%5Cbig%29%20%20%7D%7B%20%20h%20%20%7D%20&bc=White&fc=Black&im=jpg&fs=12&ff=arev&edit=0[/img]
Là pour simplifier par h ça me semble coton... ^^
En développant ça me semble encore pire, j'arrive pas à me dépatouiller avec les racines et les carrés (il doit sûrement y avoir une astuce mais je sèche...)
Je suis parvenu à [img]http://www.sciweavers.org/tex2img.php?eq=%20%5Cfrac%7B%20%5Cbig%281%2B2h%2Bh%5E2%5Cbig%29%2A%20%5Cbig%28%20%5Csqrt%7Bh%7D%20%5Cbig%29%20%20%7D%7B%20%20h%20%20%7D%20&bc=White&fc=Black&im=jpg&fs=12&ff=arev&edit=0[/img]
Là pour simplifier par h ça me semble coton... ^^
En développant ça me semble encore pire, j'arrive pas à me dépatouiller avec les racines et les carrés (il doit sûrement y avoir une astuce mais je sèche...)
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 20:51
Pour la question 3, le début est pas mal...
On regarde bien le signe de (2n-(2n+1)x).
Si tu poses 2n - (2n+1)x = 0, tu peux isoler ton x.
On regarde bien le signe de (2n-(2n+1)x).
Si tu poses 2n - (2n+1)x = 0, tu peux isoler ton x.
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 20:53
Il y a une autre définition de la dérivée, sans le "h" :-)
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 20:55
f'(a) = lim_(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a)
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:04
Ok merci je vais essayer de calculer f'(a)
Simplement pour le 3, x va dépendre de n ? Vous pouvez m'aiguiller pour la suite de la question ?
Simplement pour le 3, x va dépendre de n ? Vous pouvez m'aiguiller pour la suite de la question ?
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:05
Ok. Oui, x "dépend" de n, mais ça ne pose pas de soucis car à chaque fois, le n est fixé.
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:12
J'arrive à ça : [img]http://www.sciweavers.org/tex2img.php?eq=%20%5Cfrac%7B%20%5Cbig%28x%5En%20%5Csqrt%7B1-x%7D%20%5Cbig%29-%20%5Cbig%28%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Cbig%29%20%20%7D%7B%20%20x-1%20%7D%20&bc=White&fc=Black&im=jpg&fs=12&ff=arev&edit=0[/img]
Si je dis pas de bêtises j edois calculer la limite du numérateur puis du dénominateur et utiliser limite et quotient
donc : lim_(x->1) x^n*sqrt(1-x)-sqrt(x) = -1
et lim_(x->1) x -1 = 0-
donc lim_(x->1) fn(x) = +oo ?
Mais je vois pas à quoi ça peut me servir, je comprends pas le lien
Si je dis pas de bêtises j edois calculer la limite du numérateur puis du dénominateur et utiliser limite et quotient
donc : lim_(x->1) x^n*sqrt(1-x)-sqrt(x) = -1
et lim_(x->1) x -1 = 0-
donc lim_(x->1) fn(x) = +oo ?
Mais je vois pas à quoi ça peut me servir, je comprends pas le lien
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:14
Attention ! Tu as écrit - racine(x), attention tu dois enlever f(1)...
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:26
Ah oui effectivement je me suis embrouillé...
donc j'arrive sur une forme indeterminée ? (0/0 ?)
Que dois-je en faire ?
donc j'arrive sur une forme indeterminée ? (0/0 ?)
Que dois-je en faire ?
- Professeur AlProfesseur de Mathématiques
- Messages : 76
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:33
Oui trés bien. Maintenant tu dois trouver un moyen d'enlever l'indétermination! Peut-être appliquer des techniques vues en cours? Notamment avec des racines carrées?
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:44
J'ai cherché une méthode pour lever l'indétermination (sur internet parce que dans mon cours j'ai rien trouvé de convaincant... enfin pour s'y retrouver c'est pas facile)
Je suis tombé sur la règle de l'hospital ( http://limite.cours-de-math.eu/regle-hopital.php )
Je l'ai pas vue en cours mais je pense que je peux l'utiliser ?
Je retrouve donc lim_(x->1) fn(x) = fn'(x) (étant donné que le numérateur c'est fn(x), et que le dénonimateur c'est x-1, je retombe sur la même expression... si je fais de betises en tout cas)
Je tombe sur une limite de 1 en haut et de 0 en bas, et donc la limite est +oo
Or si la limite n'est pas finie la fonction n'est pas dérivable en ce point, donc fn n'est pas dérivable en 1 ? C'est bien ça ?
Je suis tombé sur la règle de l'hospital ( http://limite.cours-de-math.eu/regle-hopital.php )
Je l'ai pas vue en cours mais je pense que je peux l'utiliser ?
Je retrouve donc lim_(x->1) fn(x) = fn'(x) (étant donné que le numérateur c'est fn(x), et que le dénonimateur c'est x-1, je retombe sur la même expression... si je fais de betises en tout cas)
Je tombe sur une limite de 1 en haut et de 0 en bas, et donc la limite est +oo
Or si la limite n'est pas finie la fonction n'est pas dérivable en ce point, donc fn n'est pas dérivable en 1 ? C'est bien ça ?
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:49
Ce que tu dis semble pas mal. Mais si tu n'as pas appris la règle de l'Hosto, on va faire sans. En tout cas la conclusion est très bien. Pour le faire sans cette règle, essaie de multiplier par racine(1-x) au numérateur et au dénominateur :-)
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:51
Merci ça marche !
Je vais rédiger tout ça au propre histoire de voir plus clair pour la question 3.
Je vais rédiger tout ça au propre histoire de voir plus clair pour la question 3.
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 21:53
Ok y'a encore du boulot mais tu es sur la bonne voie, et motivé :-)
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 22:10
En effet : 6 questions pour l'exo 1, et autant voire plus pour le deuxième
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 22:32
Ok donc j'ai avancé sur la 3 : J'ai essayé de résoudre 2n-(2n+1)x = 0, >0 et <0 (je me demande si c'est la bonne méthode ou je m'embrouille avec mes cours sur l'exponentielle ?)
En isolant le x je trouve x = (2n)/(2n+1)
Ca signifierait donc que la dérivée est négative sur l'intervalle [0;(2n)/(2n+1)] et positive sur [(2n)/(2n+1);1], et donc la fonction serait décroissante puis croissante ?
En cherchant l'image de fn((2n)/(2n+1)), j'arrive à une expression complexe et ça me fait douter quant à la véracité de mes calculs...
Je n'ai pas utilisé la bonne méthode ?
En isolant le x je trouve x = (2n)/(2n+1)
Ca signifierait donc que la dérivée est négative sur l'intervalle [0;(2n)/(2n+1)] et positive sur [(2n)/(2n+1);1], et donc la fonction serait décroissante puis croissante ?
En cherchant l'image de fn((2n)/(2n+1)), j'arrive à une expression complexe et ça me fait douter quant à la véracité de mes calculs...
Je n'ai pas utilisé la bonne méthode ?
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 22:34
Non c'est exactement ce qu'il faut faire. Tu as juste inversé à la fin, tu peux me détailler tes calculs dans les deux cas (< 0 et > 0) ?
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 22:42
Ben j'ai trouvé que a(x) (2n-(2n+1)x) = 0 ssi x = (2n)/(2n+1)
a(x) > 0
ssi 2n-(2n+1)x > 0
et donc je retombe logiquement sur x > (2n)/(2n+1) (je ne comprends pas vraiment pourquoi il faut refaire ces calculs puisque pour moi il suffit de remplacer = par > ou < non ? )
Et par élimination a(x) < 0 ssi x < (2n)/(2n+1)
a(x) > 0
ssi 2n-(2n+1)x > 0
et donc je retombe logiquement sur x > (2n)/(2n+1) (je ne comprends pas vraiment pourquoi il faut refaire ces calculs puisque pour moi il suffit de remplacer = par > ou < non ? )
Et par élimination a(x) < 0 ssi x < (2n)/(2n+1)
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 22:49
Regarde donc :
2n - (2n+1)x > 0 donc 2n > (2n+1)x donc (2n)/(2n+1) > x donc x < (2n)/(2n+1)...
Attention à ne pas aller trop vite et à bien détailler :-)
2n - (2n+1)x > 0 donc 2n > (2n+1)x donc (2n)/(2n+1) > x donc x < (2n)/(2n+1)...
Attention à ne pas aller trop vite et à bien détailler :-)
- SkywearPosteur Motivé
- Messages : 79
Re: Term. S : DM étude de fonction-suite
Sam 8 Nov - 22:57
Ok merci, va falloir que j'arrête de faire ce raccourci...
Mais sinon lorsque je calcule l'image de fn((2n)/(2n+1)) et que je tombe sur [img]http://www.sciweavers.org/tex2img.php?eq=%20%20%5Cbig%28%20%5Cfrac%7B2n%7D%7B2n%2B1%7D%5Cbig%29%5En%20%2A%20%5Csqrt%7B1-%20%5Cfrac%7B2n%7D%7B2n%2B1%7D%20%7D%20&bc=White&fc=Black&im=jpg&fs=12&ff=arev&edit=0[/img] j'ai bon ?
Ca me paraît un peu lourd comme expression pour la placer dans un tableau de variations... ^^
Mais sinon lorsque je calcule l'image de fn((2n)/(2n+1)) et que je tombe sur [img]http://www.sciweavers.org/tex2img.php?eq=%20%20%5Cbig%28%20%5Cfrac%7B2n%7D%7B2n%2B1%7D%5Cbig%29%5En%20%2A%20%5Csqrt%7B1-%20%5Cfrac%7B2n%7D%7B2n%2B1%7D%20%7D%20&bc=White&fc=Black&im=jpg&fs=12&ff=arev&edit=0[/img] j'ai bon ?
Ca me paraît un peu lourd comme expression pour la placer dans un tableau de variations... ^^
Page 1 sur 2 • 1, 2
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
|
|