Vous n'êtes pas connecté. Connectez-vous ou enregistrez-vous

 » Mathématiques » Mathématiques au Lycée » 

Démonstration d'une suite récurrente

Aller à la page : 1, 2  Suivant


Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas  Message [Page 1 sur 2]

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Bonjour à tous !

Pour commencer les maths notre professeur nous a expliqué le fonctionnement d'une démonstration pour vérifier une suite récurrente, cependant je n'ai pas saisi du tout ce chapitre et je rame comme on pourrait dire, mais je rame vraiment .. :

Voici l'exercice, je n'attends pas de vous les réponses au contraire juste une direction dans laquelle aller car pour l'instant je suis au point mort :
Pour ce qui on le manuel voici les références : Hachette Education TermS Maths Repères P43 Ex: 124

Énoncé : On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

$$u_{0}=8$$
et
$$u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}$$

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est supérieur ou égal à $4$.
2. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-12;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+12}$, Construire les premiers termes de la suite $(u_n)$ et conjecturer son comportement.
3.a) Démontre que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$$u_{n+1}-4$$
est inférieur ou égal à $\frac{1}{4}(u_n-4)$.

  b) En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$u_n-4$ est inférieur ou égal à 1/4^(n-1).

4. En déduire que la suite $(u_n)$ admet une limite finie que l'on précisera.

D'après Bac.

Merci à tous !

Voir le profil de l'utilisateur

Professeur J

avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Salut ! Je me suis permis d'améliorer ton message (formules notamment).
Commençons par le commencement... Pour la première question : as-tu essayé un raisonnement par récurrence ?

Voir le profil de l'utilisateur http://www.mathsendirect.fr

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Merci pour la modif.
Je n'ai aucune idée de comment faire un raisonnement par récurrence avec une inégalité malheureusement..

Voir le profil de l'utilisateur

Professeur J

avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
C'est exactement pareil. Essaie de respecter le "plan", que tu as à mon avis eu en cours, (initialisation, hérédité, conclusion).

Non ? Laughing

Voir le profil de l'utilisateur http://www.mathsendirect.fr

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
C'est fait Pn+1 est vraie. Merci

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Je suis maintenant bloqué à la 3a. Au niveau de l'hérédité je ne sais pas de quoi partir, je ne suis pas sur mais on veut arriver à un+1−4 est inférieur ou égal à 14(un−4) c'est bien ça ? Mais de quoi partir alors ? Et si c'est l'inverse à quoi faut-il arriver ?

Voir le profil de l'utilisateur

Professeur J

avatar
Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Tu as fait la question $2)$ déjà ?

Voir le profil de l'utilisateur http://www.mathsendirect.fr

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Je préfère m'en occuper plus tard si cela n’influe pas l'exercice.

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
?

Voir le profil de l'utilisateur

Polochon

avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Non pour la 3a)

Pour l'initialisation je te laisse te débrouiller Smile

Pour l'hérédité : On suppose qu'il existe un entier n tel que

\( U_{n+1}-4 \leq \frac{1}{4}(U_n-4) \)

On veut alors démontrer que cette propriété est vraie au rang n+1 c'est à dire :

\( U_{(n+1)+1}-4 \leq \frac{1}{4}(U_{(n+1)}-4) \)

soit \( U_{n+2}-4 \leq \frac{1}{4}(U_{n+1}-4) \)

Démarre alors en calculant \( U_{n+2} \)

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
1ere piste :
soit je développe : Un+2−4≤1/4(Un+1−4)
qui nous donne : Un+2−4≤1/4 U(n+1) −1
puis : Un+2≤1/4 U(n+1) −1 + 4 = Un+2≤1/4 U(n+1) +3
on remplace Un+1 soit : Un+2≤1/4 RC(Un+12) +3
et après je sais pas quoi faire ..

Ou alors 2nd piste :

Un+2 = 1/4 RC(Un+12) + 3
-1 des 2 côtés : Un+1 = 1/4 RC(Un+12) +2
On factorise : Un+1 = 1/4 (RC(Un+12)+8 )
Et de là je suis encore bloqué

Alors j'ai essayé autre chose :
Pour n=0 on a Un+2 = U2 =1/4 RC(un+12) +3
CAD : 1/4 RC(20) +2 = (4+RC(5))/2

Me suis je égaré ? Merci pour votre aide très précieuse à mes yeux.



Dernière édition par Xavier Murat le Dim 13 Sep - 12:23, édité 1 fois

Voir le profil de l'utilisateur

Polochon

avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Tu t'es un peu égaré oui ! Dans ton hérédité tu ne peux pas partir de l'inégalité que tu veux montrer car tu ne sais pas qu'elle est vraie. Tu dois démarrer d'une autre formule (ici la définition de Un+2) pour arriver au résultat souhaité.

Néanmoins j'ai été un peu bête, en te "suivant" sans me poser de questions dans ton idée de raisonner par récurrence.

Pour cette question il sera bien plus simple de le faire sans, en te servant de ce que tu as démontré question 1. (Je ne vois pas comment on pourrait faire par récurrence par contre Smile )

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
On doit arriver à U(n+1) - 4 >= 1/4 (Un-4) en partant de Un+2 c'est bien ça ou l'inverse ?

Voir le profil de l'utilisateur

Polochon

avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Oublie la récurrence ça ne fonctionnera pas Smile
Mais sinon on pouvait le faire par récurrence on devrait partir de Un+2 et aboutir à \( U_{n+2}-4 \leq \frac{1}{4}(U_{n+1}-4) \)

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Je ne comprend pas comment faut-il faire dans cet exercice alors ..

Voir le profil de l'utilisateur

Polochon

avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
On te demande de prouver que : \( \forall n \in \mathbb{R}, U_{n+1}-4 \leq \frac{1}{4}(U_n-4)  \) sachant que \( U_{n+1}=\sqrt{u_n+12} \) et que \( \forall n \in \mathbb{R}, 4 \leq U_n \) (d'après la question 1)

Pas une idée ? Wink

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
 4≤U(n+2)-4  et  4≤U(n+1) donc U(n+1)-4 et U(n+2)-4 seront pour tout n, 0≤Un,n+1,n+2
       

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Est-ce que je m'avancerai en prouvant que la suite est décroissante ou cela est impossible ?

Voir le profil de l'utilisateur

Polochon

avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
Non, oublie Un+2 vu qu'on ne va pas faire de récurrence.

Juste avec les informations qu'on a (que j'ai données dans le message précédent) on arrive au résultat.
Remplace Un+1 par son expression dans l'inégalité à prouver, et montrer que tu aboutis à quelque chose de vrai Smile

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Hum je crois voir le bout Smile Smile Smile
J'essaie ça de suite ..

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
En tournant dans tous les sens j'obtient :
0<= 1/4Un - RC(Un +12) +3
Comme 1/4Un et RC(Un +12) sont positif
Je ne suis pas sur d'intégrer le 3 dans mes calculs donc :

1)Soit : montrons que 1/4 Un >= RC(Un +12)
élévation au ² qui donne : 1/16(Un²) >= Un+12
Même côté 0 <= -1/16(Un²)+Un+12
Delta = 4
X1/2 = -8 et 24

2) Soit avec le 3 qui nous donne : 1/4 Un >= RC(Un +12) + 3
élévation au ² qui donne : 1/16(Un²) >= Un+21
Même côté 0 <= -1/16(Un²)+Un+21
Delta = 25/4
X1/2 = -12 et 28

Puis le tableau des variations .. Mais ça ne m'avance pas plus ..

Voir le profil de l'utilisateur

Polochon

avatar
Posteur Motivé
Posteur Motivé
J'ai pas tout regardé (c'est pas hyper lisible :p ) mais je crois que tu te trompes lorsque tu élèves au carré (dans le cas avec le 3 ! je vois pas pourquoi tu l'enlèves celui là, il fait partie de l'inégalité). Tu oublies que \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \neq a^2+b^2 \)

On a :
\( U_{n+1}-4\leq \frac{1}{4}(U_n-4)\Rightarrow U_{n+1}\leq \frac{1}{4}U_n+3 \)

donc en élevant au carré : \( U_n+12\leq\frac{1}{16}U_n^2+\frac{3}{2}U_n+9 \)

soit : \( 0 \leq \frac{1}{16}U_n^2+\frac{1}{2}U_n-3 \)

ce qui est vrai car  \( U_n\geq 4 \)

sauf erreur Smile

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Merci beaucoup je revois tout ça et je passe au 3b merci encore

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
J'ai effectivement réussi à trouver x1 et x2 qui sont = à 4 et -12 mais justement cela prouve qu'entre n = 0 et n =4 Un est négatif non ?

Voir le profil de l'utilisateur

Xavier Murat


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Autant pour moi l'erreur de seconde on vérifiait Un+1 -4 !!!

Voir le profil de l'utilisateur

Contenu sponsorisé


Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut  Message [Page 1 sur 2]

Aller à la page : 1, 2  Suivant

Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum