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Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 17:24
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Bonjour à tous !

Pour commencer les maths notre professeur nous a expliqué le fonctionnement d'une démonstration pour vérifier une suite récurrente, cependant je n'ai pas saisi du tout ce chapitre et je rame comme on pourrait dire, mais je rame vraiment .. :

Voici l'exercice, je n'attends pas de vous les réponses au contraire juste une direction dans laquelle aller car pour l'instant je suis au point mort :
Pour ce qui on le manuel voici les références : Hachette Education TermS Maths Repères P43 Ex: 124

Énoncé : On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

$$u_{0}=8$$
et
$$u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}$$

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est supérieur ou égal à $4$.
2. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-12;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+12}$, Construire les premiers termes de la suite $(u_n)$ et conjecturer son comportement.
3.a) Démontre que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$$u_{n+1}-4$$
est inférieur ou égal à $\frac{1}{4}(u_n-4)$.

  b) En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$u_n-4$ est inférieur ou égal à 1/4^(n-1).

4. En déduire que la suite $(u_n)$ admet une limite finie que l'on précisera.

D'après Bac.

Merci à tous !
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 17:35
Salut ! Je me suis permis d'améliorer ton message (formules notamment).
Commençons par le commencement... Pour la première question : as-tu essayé un raisonnement par récurrence ?
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 17:55
Merci pour la modif.
Je n'ai aucune idée de comment faire un raisonnement par récurrence avec une inégalité malheureusement..
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 17:57
C'est exactement pareil. Essaie de respecter le "plan", que tu as à mon avis eu en cours, (initialisation, hérédité, conclusion).

Non ? Laughing
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 18:39
C'est fait Pn+1 est vraie. Merci
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 19:11
Je suis maintenant bloqué à la 3a. Au niveau de l'hérédité je ne sais pas de quoi partir, je ne suis pas sur mais on veut arriver à un+1−4 est inférieur ou égal à 14(un−4) c'est bien ça ? Mais de quoi partir alors ? Et si c'est l'inverse à quoi faut-il arriver ?
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 19:13
Tu as fait la question $2)$ déjà ?
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 19:21
Je préfère m'en occuper plus tard si cela n’influe pas l'exercice.
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 20:31
?
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Sam 12 Sep - 22:08
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Non pour la 3a)

Pour l'initialisation je te laisse te débrouiller Smile

Pour l'hérédité : On suppose qu'il existe un entier n tel que

\( U_{n+1}-4 \leq \frac{1}{4}(U_n-4) \)

On veut alors démontrer que cette propriété est vraie au rang n+1 c'est à dire :

\( U_{(n+1)+1}-4 \leq \frac{1}{4}(U_{(n+1)}-4) \)

soit \( U_{n+2}-4 \leq \frac{1}{4}(U_{n+1}-4) \)

Démarre alors en calculant \( U_{n+2} \)
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 11:32
1ere piste :
soit je développe : Un+2−4≤1/4(Un+1−4)
qui nous donne : Un+2−4≤1/4 U(n+1) −1
puis : Un+2≤1/4 U(n+1) −1 + 4 = Un+2≤1/4 U(n+1) +3
on remplace Un+1 soit : Un+2≤1/4 RC(Un+12) +3
et après je sais pas quoi faire ..

Ou alors 2nd piste :

Un+2 = 1/4 RC(Un+12) + 3
-1 des 2 côtés : Un+1 = 1/4 RC(Un+12) +2
On factorise : Un+1 = 1/4 (RC(Un+12)+8 )
Et de là je suis encore bloqué

Alors j'ai essayé autre chose :
Pour n=0 on a Un+2 = U2 =1/4 RC(un+12) +3
CAD : 1/4 RC(20) +2 = (4+RC(5))/2

Me suis je égaré ? Merci pour votre aide très précieuse à mes yeux.


Dernière édition par Xavier Murat le Dim 13 Sep - 12:23, édité 1 fois
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 12:22
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Tu t'es un peu égaré oui ! Dans ton hérédité tu ne peux pas partir de l'inégalité que tu veux montrer car tu ne sais pas qu'elle est vraie. Tu dois démarrer d'une autre formule (ici la définition de Un+2) pour arriver au résultat souhaité.

Néanmoins j'ai été un peu bête, en te "suivant" sans me poser de questions dans ton idée de raisonner par récurrence.

Pour cette question il sera bien plus simple de le faire sans, en te servant de ce que tu as démontré question 1. (Je ne vois pas comment on pourrait faire par récurrence par contre Smile )
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 14:53
On doit arriver à U(n+1) - 4 >= 1/4 (Un-4) en partant de Un+2 c'est bien ça ou l'inverse ?
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 14:56
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Oublie la récurrence ça ne fonctionnera pas Smile
Mais sinon on pouvait le faire par récurrence on devrait partir de Un+2 et aboutir à \( U_{n+2}-4 \leq \frac{1}{4}(U_{n+1}-4) \)

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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 15:00
Je ne comprend pas comment faut-il faire dans cet exercice alors ..
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 15:05
On te demande de prouver que : \( \forall n \in \mathbb{R}, U_{n+1}-4 \leq \frac{1}{4}(U_n-4)  \) sachant que \( U_{n+1}=\sqrt{u_n+12} \) et que \( \forall n \in \mathbb{R}, 4 \leq U_n \) (d'après la question 1)

Pas une idée ? Wink
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 15:18
 4≤U(n+2)-4  et  4≤U(n+1) donc U(n+1)-4 et U(n+2)-4 seront pour tout n, 0≤Un,n+1,n+2
       
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 15:22
Est-ce que je m'avancerai en prouvant que la suite est décroissante ou cela est impossible ?
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 15:23
Non, oublie Un+2 vu qu'on ne va pas faire de récurrence.

Juste avec les informations qu'on a (que j'ai données dans le message précédent) on arrive au résultat.
Remplace Un+1 par son expression dans l'inégalité à prouver, et montrer que tu aboutis à quelque chose de vrai Smile
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 15:29
Hum je crois voir le bout Smile Smile Smile
J'essaie ça de suite ..
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 16:37
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En tournant dans tous les sens j'obtient :
0<= 1/4Un - RC(Un +12) +3
Comme 1/4Un et RC(Un +12) sont positif
Je ne suis pas sur d'intégrer le 3 dans mes calculs donc :

1)Soit : montrons que 1/4 Un >= RC(Un +12)
élévation au ² qui donne : 1/16(Un²) >= Un+12
Même côté 0 <= -1/16(Un²)+Un+12
Delta = 4
X1/2 = -8 et 24

2) Soit avec le 3 qui nous donne : 1/4 Un >= RC(Un +12) + 3
élévation au ² qui donne : 1/16(Un²) >= Un+21
Même côté 0 <= -1/16(Un²)+Un+21
Delta = 25/4
X1/2 = -12 et 28

Puis le tableau des variations .. Mais ça ne m'avance pas plus ..
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 17:06
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J'ai pas tout regardé (c'est pas hyper lisible :p ) mais je crois que tu te trompes lorsque tu élèves au carré (dans le cas avec le 3 ! je vois pas pourquoi tu l'enlèves celui là, il fait partie de l'inégalité). Tu oublies que \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \neq a^2+b^2 \)

On a :
\( U_{n+1}-4\leq \frac{1}{4}(U_n-4)\Rightarrow U_{n+1}\leq \frac{1}{4}U_n+3 \)

donc en élevant au carré : \( U_n+12\leq\frac{1}{16}U_n^2+\frac{3}{2}U_n+9 \)

soit : \( 0 \leq \frac{1}{16}U_n^2+\frac{1}{2}U_n-3 \)

ce qui est vrai car  \( U_n\geq 4 \)

sauf erreur Smile
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 18:54
Merci beaucoup je revois tout ça et je passe au 3b merci encore
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 19:14
J'ai effectivement réussi à trouver x1 et x2 qui sont = à 4 et -12 mais justement cela prouve qu'entre n = 0 et n =4 Un est négatif non ?
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Re: Démonstration d'une suite récurrente

le Dim 13 Sep - 19:18
Autant pour moi l'erreur de seconde on vérifiait Un+1 -4 !!!
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