Inégalité arithmético-géométrique - cas d'égalité

Bonjour !

J'ai un DM sur l'inégalité arithmético-géométrique à rendre pour lundi, il est fini mais j'ai un petit doute sur une partie de ma démonstration :

Après une première preuve (utilisant récurrence puis manipulation algébrique), on montre l'inégalité avec une seconde preuve se basant sur le fait que :
\( \forall x \in \mathbb{R},x\leq e^{x-1}\)

On montre alors l'inégalité arithmético-géométrique en posant \( m= \frac{1}{n}\sum ^{n}_{k=1}x_k \) et en utilisant la relation précédente avec \( x=\frac{x_i}{m} \):

\( \forall (a_1,...,a_n) \in \mathbb{(R^*_+)}^n,\forall n \in \mathbb{N^*},  \sqrt[n]{\prod ^{n}_{k=1}x_k} \leq \frac{1}{n}\sum ^{n}_{k=1}x_k \)

On me demande ensuite d'étudier les cas d'égalités : en "remontant" la démonstration (qu'on peut faire par équivalence), on aboutit au cas d'égalité si et seulement si :
\( \forall i \in \mathbb{N} \cap [1,n], x_i=m \Leftrightarrow \forall i \in \mathbb{N} \cap [1,n], x_i = \frac{1}{n}\sum ^{n}_{k=1}x_k \)

Il est évident alors qu'on a égalité si et seulement si \( \forall i \in \mathbb{N} \cap [1,n], x_i=\lambda,  \lambda \in \mathbb{R} \) mais je ne sais pas vraiment comment le prouver rigoureusement.

J'ai pensé à : une équation de cette forme (n*x=k) avec n et k fixés, n'admet qu'une unique solution, donc comme \( \lambda \) est solution on aboutit au résultat mais je n'en suis pas certain.