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Égalité avec racines carrées


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1 Égalité avec racines carrées le Sam 12 Sep - 20:23

Funky_3000

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Posteur Débutant
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Bien le bonsoir Smile

Depuis quelques heures je me cogne la tête face à un problème dont j'ai un mal fou à résoudre.
Voici l'énoncé :
Pour a > 0 , on considère l'équation sqrt(x+sqrt(x+a)) = a
1) Sans calcul , expliquer pourquoi cette équation admet exactement une solution réelle ( racine > 0 + a constante , c'est ce que j'ai noté )
2) Déterminer rigoureusement l'expression de cette expression
3) Déterminer la valeur de a pour laquelle cette solution est minimale ( j'en ai une idée grâce à l'étude graphique , c'est pas un problème non plus )

La question qui me bloque est la 2. Voilà comment j'ai procédé

sqrt(x+sqrt(x+a)) = a
x+sqrt(x+a) = a²
-a²+x = -sqrt(x+a)
a^4+x² = x+a
(a²+x)² -x-a = 0
a^4+2a²x+x²-x-a = 0

Et c'est là que je bloque. Je ne vois pas du tout comment je peux procéder pour continuer. Sachant qu'au final je dois obtenir un polynôme du 2nd degré , supposer obtenir 2 solutions dont 1 négative ( qui serait donc fausse ) , et l'autre solution étant la bonne.

J'ai pensé à factoriser , mais je ne vois pas vraiment comment je peux m'amener au polynôme voulu Sad

Toute aide est la bienvenue pour mon problème Very Happy

Merci d'avance Smile

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Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Yo Funky, alors t'en es où ? Je crois que t'avais avancé depuis Smile

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NinjaCrown


Posteur Motivé
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Désolé j'ai essayé de t'aider mais j'arrive pas à répondre à tes questions

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Funky_3000

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Me revoilà !
Pas de problème NinjaCrown , c'est gentil de ta part Smile

Alors , voici où j'en suis ( je recopie absolument tout ce que j'ai écris , à voir si j'ai fais des erreurs ou non )

Je me retrouve à la fin avec x²-x(2a²+1)+a(a^3-1) = 0
Delta = b²-4ac
= (2a²+1)² - 4*1*(a(a^3-1))
=4a^4+4a²+1 - 4a^4 +4a
= 4a²+4a+1
=(2a+1)² , sqrt(Delta) = 2a+1

x1 = -b-sqrt(Delta)/2a =( 2a^2+1 - (2a+1)) / 2 = a^2-a
x2 = -b+sqrt(Delta)/2a = (2a^2+1 +(2a+1))/2 = a^2+a+1

Pour x1 , tant que a > 1 , a^2-a > 0
Pour x2 , tant que a > 0 , a^2+a+1 > 0

Par conséquent , x2 est positif pour tout a > 0 , mais pas x1 , Donc S = x2 = a^2+a+1

Pour la question 3 , on nous demande la valeur de a pour laquelle x est au minimum possible. J'avais pensé à  "a" proche de 0 ( dans ce cas x est proche de 1 , en représentation graphique 1 est l'ordonnée la plus basse possible sur la courbe )

Après je ne sais pas , j'ai probablement dû faire des erreurs , mais je voulais au moins savoir l'avis de personnes du forum Smile

EDIT : J'ai remplacé x dans l'équation par x1 et x2.

Pour x1 je trouve a² = 0
Pour x2 je trouve -a^4 + a = 0 , soit a^4-a = 0


Du coup je ne comprends plus rien maintenant :-(

On est censé admettre une seule solution pour l'équation sqrt(x+sqrt(x+a)) = 0 , or ici on en a 2 pour un "a" donné ( supposé constant ) Sad



Dernière édition par Funky_3000 le Dim 13 Sep - 14:59, édité 2 fois (Raison : Ajout d'informations)

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