- Funky_3000Posteur Débutant
- Messages : 2
Égalité avec racines carrées
Sam 12 Sep - 20:23
Bien le bonsoir
Depuis quelques heures je me cogne la tête face à un problème dont j'ai un mal fou à résoudre.
Voici l'énoncé :
Pour a > 0 , on considère l'équation sqrt(x+sqrt(x+a)) = a
1) Sans calcul , expliquer pourquoi cette équation admet exactement une solution réelle ( racine > 0 + a constante , c'est ce que j'ai noté )
2) Déterminer rigoureusement l'expression de cette expression
3) Déterminer la valeur de a pour laquelle cette solution est minimale ( j'en ai une idée grâce à l'étude graphique , c'est pas un problème non plus )
La question qui me bloque est la 2. Voilà comment j'ai procédé
sqrt(x+sqrt(x+a)) = a
x+sqrt(x+a) = a²
-a²+x = -sqrt(x+a)
a^4+x² = x+a
(a²+x)² -x-a = 0
a^4+2a²x+x²-x-a = 0
Et c'est là que je bloque. Je ne vois pas du tout comment je peux procéder pour continuer. Sachant qu'au final je dois obtenir un polynôme du 2nd degré , supposer obtenir 2 solutions dont 1 négative ( qui serait donc fausse ) , et l'autre solution étant la bonne.
J'ai pensé à factoriser , mais je ne vois pas vraiment comment je peux m'amener au polynôme voulu
Toute aide est la bienvenue pour mon problème
Merci d'avance
Depuis quelques heures je me cogne la tête face à un problème dont j'ai un mal fou à résoudre.
Voici l'énoncé :
Pour a > 0 , on considère l'équation sqrt(x+sqrt(x+a)) = a
1) Sans calcul , expliquer pourquoi cette équation admet exactement une solution réelle ( racine > 0 + a constante , c'est ce que j'ai noté )
2) Déterminer rigoureusement l'expression de cette expression
3) Déterminer la valeur de a pour laquelle cette solution est minimale ( j'en ai une idée grâce à l'étude graphique , c'est pas un problème non plus )
La question qui me bloque est la 2. Voilà comment j'ai procédé
sqrt(x+sqrt(x+a)) = a
x+sqrt(x+a) = a²
-a²+x = -sqrt(x+a)
a^4+x² = x+a
(a²+x)² -x-a = 0
a^4+2a²x+x²-x-a = 0
Et c'est là que je bloque. Je ne vois pas du tout comment je peux procéder pour continuer. Sachant qu'au final je dois obtenir un polynôme du 2nd degré , supposer obtenir 2 solutions dont 1 négative ( qui serait donc fausse ) , et l'autre solution étant la bonne.
J'ai pensé à factoriser , mais je ne vois pas vraiment comment je peux m'amener au polynôme voulu
Toute aide est la bienvenue pour mon problème
Merci d'avance
Re: Égalité avec racines carrées
Dim 13 Sep - 10:30
Yo Funky, alors t'en es où ? Je crois que t'avais avancé depuis
- NinjaCrownPosteur Motivé
- Messages : 50
Re: Égalité avec racines carrées
Dim 13 Sep - 11:31
Désolé j'ai essayé de t'aider mais j'arrive pas à répondre à tes questions
- Funky_3000Posteur Débutant
- Messages : 2
Re: Égalité avec racines carrées
Dim 13 Sep - 14:10
Me revoilà !
Pas de problème NinjaCrown , c'est gentil de ta part
Alors , voici où j'en suis ( je recopie absolument tout ce que j'ai écris , à voir si j'ai fais des erreurs ou non )
Je me retrouve à la fin avec x²-x(2a²+1)+a(a^3-1) = 0
Delta = b²-4ac
= (2a²+1)² - 4*1*(a(a^3-1))
=4a^4+4a²+1 - 4a^4 +4a
= 4a²+4a+1
=(2a+1)² , sqrt(Delta) = 2a+1
x1 = -b-sqrt(Delta)/2a =( 2a^2+1 - (2a+1)) / 2 = a^2-a
x2 = -b+sqrt(Delta)/2a = (2a^2+1 +(2a+1))/2 = a^2+a+1
Pour x1 , tant que a > 1 , a^2-a > 0
Pour x2 , tant que a > 0 , a^2+a+1 > 0
Par conséquent , x2 est positif pour tout a > 0 , mais pas x1 , Donc S = x2 = a^2+a+1
Pour la question 3 , on nous demande la valeur de a pour laquelle x est au minimum possible. J'avais pensé à "a" proche de 0 ( dans ce cas x est proche de 1 , en représentation graphique 1 est l'ordonnée la plus basse possible sur la courbe )
Après je ne sais pas , j'ai probablement dû faire des erreurs , mais je voulais au moins savoir l'avis de personnes du forum
EDIT : J'ai remplacé x dans l'équation par x1 et x2.
Pour x1 je trouve a² = 0
Pour x2 je trouve -a^4 + a = 0 , soit a^4-a = 0
Du coup je ne comprends plus rien maintenant :-(
On est censé admettre une seule solution pour l'équation sqrt(x+sqrt(x+a)) = 0 , or ici on en a 2 pour un "a" donné ( supposé constant )
Pas de problème NinjaCrown , c'est gentil de ta part
Alors , voici où j'en suis ( je recopie absolument tout ce que j'ai écris , à voir si j'ai fais des erreurs ou non )
Je me retrouve à la fin avec x²-x(2a²+1)+a(a^3-1) = 0
Delta = b²-4ac
= (2a²+1)² - 4*1*(a(a^3-1))
=4a^4+4a²+1 - 4a^4 +4a
= 4a²+4a+1
=(2a+1)² , sqrt(Delta) = 2a+1
x1 = -b-sqrt(Delta)/2a =( 2a^2+1 - (2a+1)) / 2 = a^2-a
x2 = -b+sqrt(Delta)/2a = (2a^2+1 +(2a+1))/2 = a^2+a+1
Pour x1 , tant que a > 1 , a^2-a > 0
Pour x2 , tant que a > 0 , a^2+a+1 > 0
Par conséquent , x2 est positif pour tout a > 0 , mais pas x1 , Donc S = x2 = a^2+a+1
Pour la question 3 , on nous demande la valeur de a pour laquelle x est au minimum possible. J'avais pensé à "a" proche de 0 ( dans ce cas x est proche de 1 , en représentation graphique 1 est l'ordonnée la plus basse possible sur la courbe )
Après je ne sais pas , j'ai probablement dû faire des erreurs , mais je voulais au moins savoir l'avis de personnes du forum
EDIT : J'ai remplacé x dans l'équation par x1 et x2.
Pour x1 je trouve a² = 0
Pour x2 je trouve -a^4 + a = 0 , soit a^4-a = 0
Du coup je ne comprends plus rien maintenant :-(
On est censé admettre une seule solution pour l'équation sqrt(x+sqrt(x+a)) = 0 , or ici on en a 2 pour un "a" donné ( supposé constant )
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