Minorant trivial

Bonjour,

J’ai un DM à faire, et il commence comme suit :
"Le but du pb est de trouver un minorant non trivial de l’expression x^y +y^x ou x et y deux réels strictement positifs "
Venant de sti je ne sais même pas ce que c’est qu’un minorant ! J’ai cru comprendre que c’était une histoire de x qui sortait du domaine de définition.. Bref v’est flou !
Et pour le terme trivial à part pour m’annoncer la joie que je vais avoir en résolvant cet exo, ça ne me parle pas !

Merci de votre aide

Ps : je n’ai bien entendu pas donné l’ex au complet je voulais juste avoir des renseignements par rapport à ce terme

Salut Tchap,

Tu fais bien de poser cette question afin de comprendre où est ce que tu vas avec ce problème. Je vais essayer de t'éclairer.

Trouver un minorant de $x^y+y^x$, c'est trouver un nombre $m$ tel que $m\leq x^y+y^x$. Le terme [b]trivial[/b], souvent utilisé en mathématiques, peut être traduit par [b]évident[/b]. Le but de l'exercice est de trouver des minorants non triviaux. Si tu as compris la définition de minorant, est-ce que tu arrives à trouver des minorants triviaux de cette expression ?

Merci pour ces infos ! J'ai résolu 90% du DM mais je bloque a la toute fin quand même ! Où il faut en déduire un minorant

Je pense que ce terme n'est pas clair..
Par exemple si la fonction est : sqrt(x)
Alors un minorant est -1 ? Tous les minorants vont de 0- a -∞ ?

Oui c'est bien ça, et $0$ est lui-même un minorant !

0 Est donc un minimum en plus d’être un minorant ? C'est donc le plus grand des minorants ?

Mais quand la fonction est défini sur $]-\infty ;+\infty[$ il ne peut pas exister de majorant ni de minorant !

Regarde la fonction exponentielle par exemple, elle a beaucoup de minorants !

Ah oui effectivement oui je commence a saisir.. Mais étant donné qu'elle est strictement croissante jusqu'en $+\infty$ elle n'a pas de majorant c'est ca ? Il ne peut pas exister un nombre m > exp(x)

Effectivement, la fonction exponentielle n'admet pas de majorant sur $\mathbb{R}$ ! Tu peux regarder aussi la fonction carrée par exemple.

x^y = e^yln(x)
y^x =e^xln(y)

ça peut peut être aider pour trouver un minorant...