Exercices sur les complexes

Bonsoir,

J'ai du mal avec certaines questions de certains exos, les voici

1/ Déterminer l'ensemble dans le plan complexe de z+z(barre)=z^2

En developpant avec z=x+iy, j'obtiens 2x=x^2 - y^2 +2ixy et je ne sais pas quoi faire après.

2/ Calculer la somme de k=0 allant à n du coefficient du binôme (n,k) multiplié par e^i(a+bk) et même chose avec une autre somme où au lieu de e^i(a+bk) c'est cos(a+bk), j'espère que c'est clair, je ne sais pas comment insérer la formule.

Pour le 2e calcul, comme cos(a+bk)=Re(e^i(a+bk)), je suppose qu'il suffit d'enlever la partie imaginaire de ce qu'on trouve pour le calcul 1 ?

3/ Exprimer cos 5a en fonction de cos a, pareil pour sin 5a. En utilisant le fait que cos 5Pi/2 = 0, donner la valeur de cos Pi/10.

En appliquant le binôme de Newton et la formule de Moivre, j'ai trouvé
cos 5a = 5(cos a sin a)^4 -10(cos a)^3*sin a + (cos a)^5
sin 5a = (sin a)^5 -10(cos a)^2*(sin a)^3 +5(cos a)^4*sin a

Après je ne sais pas comment faire, j'ai essayé de remplacer a par Pi/10 mais je ne trouve pas.

4/ Soit A l'ensemble des racines 5emes de l'unité différentes de 1. Montrer que x appartient à A si x^4+x^3+...+1=0, si X=x+1/x solution de X^2+X+1=0 et le résoudre. En déduire cos 2Pi/5 et cos 4Pi/5.

C'est la dernière question où je bloque, les racines que je trouve pour le trinôme qui précède la question sont (-1 +ou- sqrt(5))/2 et je remarque à la calculatrice qu'ils sont respectivement la moitié de cos 2Pi/5 et de cos 4Pi/5.

5/  f(z)=z/(z-1)^2, trouver une condition sur a et b pour que f(a)=f(b), f est-elle injective ? Soit z(0), déterminer le nombre d'antécédents par de z(0), f est-elle surjective ? Si module de z = 1 et z différent de 1, montrer que f(z) réel.

Je ne vois pas ce qu'il faut faire, j'ai essayé de développer mais l'expression est lourde et ne semble pas apporter grand chose, pareil pour exprimer le module.

6/ Trouver z avec Z=(z+i)/(z-i), Z^3 + Z^2 + Z + 1 = 0.

J'ai multiplié le côté gauche par Z-1 pour avoir Z^4 = 1, j'ai essayé de développer Z, après j'espérais trouver z en comparant l'expression cartesienne avec les racines 4èmes de 1.

7/ Soient a0, a1, a2 et z complexes et P(z)=a0+z*a1+z^2*a2, on suppose que pour tout z dont le module est 1, on a module de P(z)<=1. Soit j=e^(i2Pi/3), calculer P(1)+P(j)+P(j^2). En déduire que module de a0<=1. En faire de même poura1 et a2.

Je trouve 3a0+(1+j+j^2)a1+(1+j^2+j^4)a2, ensuite je suis bloqué, peut-être qu'il fait calculer autrement ?

Merci d'avance

Yo, si tu veux mettre tout ça au clair, tu peux lire le topic épinglé qui explique comment insérer de "belles" formules^^ Y'a un lien avec les principaux symboles... Parce que là ça fait un peu pavé où on a du mal à s'y retrouver