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Somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait

le Sam 19 Sep - 22:46
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut Smile

Donc dans mon DM de spé maths, à l'aide d'un algo on a pu conjecturé que la somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait est égale à 2.
Comment le démontrer?

Merci d'avance.

PS: si possible, ne donnez pas la démo d'un coup mais si vous pouviez me donner des indices pour que je la découvre moi même, ce serait encore plus top Very Happy
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Re: Somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait

le Dim 20 Sep - 8:45
Réputation du message : 100% (1 vote)
En fait je sais que si on pose S(n) la somme des diviseurs et S'(n) la somme des inverses des diviseurs on a,  puisque n est un nombre parfait,: $$S(n) = 2n$$ puis $$S'(n)= \frac{S(n)}{n}$$ et donc $$S'(n)= \frac{2n}{n}=2$$

Le probleme c'est que je ne sais pas comment démontrer $$S'(n)= \frac{S(n)}{n}$$
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Re: Somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait

le Dim 20 Sep - 9:31
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut, et sympathique exercice Smile

La démonstration que je connais utilise le fait que la liste des diviseurs d'un nombre $n$ (parfait ou non) peut s'écrire :

$$Diviseurs(n)=\{\frac{n}{d_{1}};\frac{n}{d_{2}};...;\frac{n}{d_{k}}\},$$

où les $d_{i}$ pour $i=1,\cdots,k$ sont les diviseurs de $n$. Ensuite, tu utilises ce résultat pour un nombre parfait. En utilisant le fait que ce nombre est parfait... tu devrais arriver au résultat.
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Re: Somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait

le Dim 20 Sep - 11:35
Ah oui merci je pense avoir trouvé:

$$S(n)=\frac{n}{d_{1}}+\frac{n}{d_{2}}+...+\frac{n}{d_{k}}=2n$$ donc:$$S'(n)=\frac{d_{1}}{n}+\frac{d_{2}}{n}+...+\frac{d_{k}}{n}$$ d'où: $$S'(n)=\frac{S(n)}{2}=2$$
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