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Term S : exo de spé sur les congruences


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Skywear


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Bonjour, j'ai un petit exercice de spé à faire mais je bloque complètement à la première question...
Voici l'intitulé :
Soit p=>2 et x deux entiers relatifs.
1.Montrer qu'il existe un unique entier r tel que 0 <= r < p et x congru à r (mod p)
2. Trouver les entiers relatifs vérifiant (plusieurs expressions que je vais pas détailler ici)

J'ai posé x = pq + r
et r = pq' + r

(déjà là je me demande si c'est bon)

Et là je ne vois pas quoi faire... si j'isole p ça me fait p = (x-r)/q et p = (r-r)/q = o sauf que p=>2 donc ce n'est pas logique...

Débloquez moi svp Smile

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Professeur J

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C'est bien l'écriture de la division euclidienne qu'il faut utiliser (elle existe bien).
Ça peut être pas mal de séparer les cas p>x et p

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Skywear


Posteur Motivé
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Je vois pas du tout comment procéder pour faire ça Question
Les deux égalités sont-elles bonne malgré que j'arrive à un résultat absurde ensuite ?

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Professeur J

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Dans ta deuxième égalité, il faudrait écrire r = pq' + r' (ce n'est pas le même reste).

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Professeur J

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En fait, l'existence de l'écriture x = pq + r avec unicité de q et r te donne directement la réponse.

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Skywear


Posteur Motivé
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Euh... comment ça unicité ? Cela peut varier selon x non ?
Je suis dans le flou total

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Professeur J

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Tu devrais relire ton cours sur la division euclidienne. Quelque part, il doit être écrit la définition. Je te renvoie vers l'article Wiki... http://fr.wikipedia.org/wiki/Division_euclidienne

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Skywear


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Voilà ce que j'ai écrit :
0 <= r < p
x = pq +r
or il existe un unique couple (q;r) vérifiant ces propriétés, donc un unique entier r.

Ca va ?

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Professeur J

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L'écriture x = pq + r, nous dit bien que x est congru à r modulo p.

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Skywear


Posteur Motivé
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Je le reprendrais plus tard, je vois pas comment faire même en relisant les cours. Merci quand même !

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Skywear


Posteur Motivé
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Rebonsoir, j'y suis finalement parvenu.

Pour la question 2, je dois premièrement trouver les x€Z vérifiant 5x congru à 1 (mod 7)

Sauf que aucune intervalle n'est précisée, il y a donc un nombre de x infini ? Je dois donc trouver une expression littérale ?

Voilà ce que j'ai fait :

5x = 7q + r
1 = 7q' + r donc q' =o et r=1
donc 5x = 7q +1
donc q = (5x-1)/7
5x-1 doit être un multiple de 7.
On a x = (7q+1)/5

Je pense que c'est bon ?
Sauf que je dois ensuite trouver les x€Z tels que 2x² + x - 1 est congru à 2 (mod 5)

De même, 2x² + x + 1 = 5q+r
2 = 5q' + r donc q' = o et r = 2
donc 2x² + x + 2 = 5q + 2

donc q =(2x^2 + x - 1)/5
2x^2 + x - 1 doit être un multiple de 5.

Et la pour isoler x ça me semble difficile. je ne crois pas pouvoir résoudre 2x² + x - 1 = 5q... help svp Crying or Very sad

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Skywear


Posteur Motivé
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On a fait la correction, j'ai compris comment ça marchait, vous pouvez locker ^^

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Professeur Al


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Désolé de ne pas avoir pu te répondre mais content que tu aies compris! Je verrouille!

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