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Exercice sur le dénombrement


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1 Exercice sur le dénombrement le Jeu 24 Sep - 17:41

PouletAtomique

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Bonjour tout le monde Smile

J'ai un exercice et je suis absolument peu sûr de mes résultats , donc si quelqu'un peut me dire si j'ai bon ou le cas échéant m'expliquer comment résoudre l'exo ça serait super ! Smile

énoncé:

1) Soit E un ensemble à n éléments ( n plus grand que 1...)

Montrer que la donnée d'une partie A de E équivaut à la partition de E en 2 parties ou encore à celle d'un n-uplet de {0,1}^n
En déduire card(P(E))

Ma réponse : J'ai dit que E s'écrivait comme E=AU(E\A) pour la première partie de la question , puis j'ai utilisé la fontion indicatrice de A
( https://upload.wikimedia.org/math/6/f/4/6f415f3106f05f2b649b97d9419b57fe.png )

Pour dire que card(P(E)) = card({o,1})^(card(E))=2^n


2) Dénombrer le nombre de partitions de E en 3 parties comportant entre 0 et n éléments

Pareil j'ai fait correspondre à chaque x dans E un chiffre entre 1 et p , ici on cherche pour p=3 donc on a card(P(E))=3^n




Je suis vraiment naze en dénombrement donc si quelqu'un pouvait m'éclairer...

Merci Smile

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2 Re: Exercice sur le dénombrement le Dim 27 Sep - 14:27

PouletAtomique

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Personne? :'(

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3 Re: Exercice sur le dénombrement le Dim 27 Sep - 14:29

Professeur J

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Ah désolé je n'avais pas vu ton message, tu as bien fait de up, je vais regarder quand je pourrai mais là je ne suis pas chez moi :/

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4 Re: Exercice sur le dénombrement le Dim 27 Sep - 17:02

PouletAtomique

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ça marche merci beaucoup ! Smile

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5 Re: Exercice sur le dénombrement le Dim 27 Sep - 22:01

Professeur J

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Re, je suis vraiment désolé mais je ne vais pas avoir le temps de t'expliquer ce soir...

Je te propose un lien Wikipedia vers la démonstration pour la cardinalité (t'es sûrement déjà tombé dessus mais on sait jamais) :

Wikipedia a écrit:Un vecteur de $n$ bits peut prendre $2n$ valeurs différentes, et chacun de ses bits peut prendre la valeur Vrai ou Faux. Posons $E$, un ensemble de $n$ éléments. Spécifions que l’état de chaque bit représente l’absence ou la présence d’un élément de $E$ dans le sous ensemble représenté par un vecteur de bits de longueur $n$ : ceci constitue une représentation valide du contenu d’un sous ensemble de $E$, sous la condition que le cardinal de $E$ ne soit pas infini. Chaque combinaison de bits représente le contenu d’un sous ensemble, et nous avons comme avec tout nombre binaire ou vecteur de bits, $2n$ combinaisons possibles, qui s’interprètent comme autant de $2n$ sous ensemble de $E$ possibles, pour $E$, un ensemble dont le cardinal n’est pas infini.

(On peut formuler cette démonstration rigoureusement de manière mathématique en disant que $\mathcal{P}(E)$ est en bijection avec $\{0,1\}^E$, qui a pour cardinal $2n$, par l'application $A\mapsto\chi_A$ où $\chi_A$ est la fonction caractéristique de l'ensemble $A$.)

Donc ça correspond à ce que tu as fait. Je sais c'est pas super comme réponse mais c'est déjà ça Laughing

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6 Re: Exercice sur le dénombrement le Lun 28 Sep - 14:49

PouletAtomique

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Okay merci beaucoup ! Au moins ça confirme que je me suis pas trop planté Very Happy

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7 Re: Exercice sur le dénombrement le Lun 28 Sep - 20:03

Professeur J

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Tu avais l'air d'avoir compris dans tous les cas Razz

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8 Re: Exercice sur le dénombrement le Lun 28 Sep - 21:25

PouletAtomique

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Bof ça a jamais été mon truc le dénombrement surtout dans les exercices un peu "théoriques" Very Happy

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