Limites fonction

Bonjour,

Je bloque sur un (long) exercice (désolé !), ou du moins je ne sais pas vraiment ce qu'il faut faire en fait... J'aimerai bien qu'on m'explique si possible.

Alors soit la fonction f définie sur lR par : f(x) = (2x)/1+x²

1) Etudier les limites de f en +infini et en -infini. Que peut-on en conclure pour la courbe Cf ?

2)  Calculer la fonction dérivée f' de la fonction f. On cherchera à factoriser f'

3) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

4) Déterminer une équation de la tangente T0 à Cf en 0.

5) Tracer la courbe Cf, T0 ainsi que les asymptotes éventuelles. On marquera les extremum de la fonction f. Unités :1 cm sur les abscisses et 2cm sur les ordonnées.

6) La courbe Cf semble symétrique par rapport à l'origine. Confirmer cette conjecture.


J'ai trouvé deux formes indéterminées pour les limites en -inf et +inf, j'en conclus donc qu'on ne connait pas les limites de la fonction f. Donc je dérive et je trouve f'(x)= (2-2x²)/(1+x²)²    (avec la formule u/v).

Puis vient la factorisation ... Je vois que c'est du 2nd degré alors je fais le delta pour le numérateur et je trouve 16 avec les racines x1=1 et x2= -1 et donc la fonction est décroissante, croissante et décroissante. Sauf que pour factoriser, je fais celle du delta : a(x-x1)(x-x2) donc  -2(x-1)(x+1)
A mon avis j'ai pas du factoriser comme il fallait ou alors il y a quelque chose qui m'échappe, à vrai dire je sais pas trop ce que je dois faire quand il faut factoriser... Les questions 4, 5, et 6 je n'ai aucune idée de ce qu'on me demande. Les équations de courbe aux tangentes je n'ai jamais compris ce que c'était et encore moins de conjecture, j'ai découvert ce mot il y a 2 jours pour tout vous dire :hap: A partir de la je ne sais pas comment résoudre la suite de l'exercice. Je connais l'équation f'(a) (x-a) + f(a) mais je ne sais pas à quoi ça correspond, ni quand et comment l'utiliser et s'il faut l'appliquer ici justement ?

Désolé pour la longueur de l'exercice... J'aimerai vraiment qu'on m'explique ces notions et comment interpréter les questions

Merci

Alors déjà pour les limites, tomber sur une FI ne veut pas forcément dire être incapable de résoudre le problème.

La fonction c'est f(x) = 2x / (1+x²)

Effectivement, on tombe sur "+inf / +inf" en +inf, ce qui est une FI, mais tu peux quand même contourner le problème.

Quand on tombe sur une FI sur un quotient, il faut factoriser en haut et en bas par x à la plus haute puissance que celle présente sur le quotient (je sais pas si je m'exprime bien )

Par exemple ici, il faudra factoriser le numérateur et le dénominateur par x², et ça te permettra de trouver la limite de la fonction et +inf et -inf.

Oui pour commencer, cette méthode (très classique) te permettra d'y arriver

Je dois toujours factoriser le numérateur ET le dénominateur ? Celui de la dérivée ou de la fonction ?
Je vois pas comment on peut factoriser la fonction avec x². J'ai essayé de factoriser la dérivée, je trouve x²(2-2x) / x² (1-2). C'est pas bon ? Je dois factoriser "à la main" ou avec le delta ? dans quel cas je dois factoriser avec le delta ?

Hum je suis perdue la

Ps: Quand tu dis trouver les limites de f en +inf et -inf, il faut remplacer le x de la factorisation par l'infini ?

Non là on te parlait de la première question sur les limites, pour la dérivée on verra après Donc il faut que tu factorises le numérateur par $x^2$ et le dénominateur par $x^2$ aussi, tu verras ce que ça fait.

Ok alors x(2) / x(x+1) ? je vois pas comment on peut factoriser 2x au carré sinon

Ca marche aussi en factorisant par x.

Bah maintenant que tu as factorisé, tu peux simplifier par x.
Quand on étudie le comportement de la fonction quand x tend vers + ou -inf, on peut supposer x différent de 0, donc on peut simplifier par x.

D'ailleurs dans ta factorisation par x dans le dénominateur, tu t'es trompé.

En fait je pense qu'il y a quelque chose que tu ne sais pas faire dans la factorisation, par exemple regarde celle-ci quand je factorise par $x^2$ :
$$1+x^2=x^2(\frac{1}{x^2}+1)$$

D'accord, on vient de corriger l'exo aujourd'hui et au passage j'ai appris comment factoriser (enfin je crois) donc ça me donne bien (x(2x)/x) / x² (1/x² + x²/x²) = 2 / x(1/x+1) (je crois).
Donc 0 et 0 en limites.  

Quand on dit simplifier par x, on ne peut que simplifier les x en facteurs, pas ceux des parenthèses ?
Pour la factorisation "version delta" ça ne marche qu'avec les équations du delta si je comprends bien ?

PS : Oui du coup je commence à mieux comprendre "factoriser au plus haut degré" ^^

Si tu veux comprendre va voir sur wikipedia la notion d'équivalents

En gros si t'as une expression du type x^8 (par exemple) + x^5 +.....+1 , intuitivement tu te rends compte qu'en +inf c'est le x^8 qui va dominer , donc ton expression va se comporter exactement comme le x^8 , c'est pour ça qu'on factorise par le terme du plus haut degré

D'accord je vais voir ça merci