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Nombres complexes et ensembles géométriques utilisant la forme algébrique


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Dérivation

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Bonjour,
On me demande dans un des exercices de mon DM de déterminer un ensemble dans lequel se trouvent tous les points $M$ dont les affixes $z$ vérifient : $|z-(2-i)|$=racine de 2.
Et ce en utilisant la forme algébrique ( $z=x+iy$ ).
Sachant qu'on l'a déjà déterminé géométriquement avec des affixes de points (on trouve un cercle de centre (2;-1) et de rayon racine de 2 ).

Je n'ai aucune idée de comment faire, j'ai tenté de remplacer $z$ par la forme algébrique et ça donne $|x+iy-2+i|$= racine de 2. Il ne me semble pas qu'on puisse continuer dans ce sens (mettre sous forme algébrique ne servirait à rien, j'ai essayé), et je ne trouve pas d'autre méthode...

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Professeur J

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Salut Dérivation, tu es très bien parti comme ça... en plus tu connais la réponse d'après les questions d'avant... pourquoi ne pas calculer le module $|x+iy-2+i|$ ?

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Dérivation

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Comment ça, calculer ce module...? Je vois bien sûr que c'est un module, mais on ne peut pas le développer plus, et la forme algébrique n'apporte rien...Si au moins on pouvait se "débarasser" de la valeur absolue, je pourrais sans doute résoudre l'équation, mais dans le cas présent je ne vois pas comment faire...
Tout ce que ça peut donner, c'est $|x-2+i(y+1)|$ = racine de 2. On peut calculer ça ?

Et d'ailleurs, ce serait le module de quoi ? A quoi x et y correspondraient géométriquement ?

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Professeur J

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Oui bien sûr qu'on peut, même s'il y a plusieurs variables Smile C'est quoi la définition du module d'un complexe $z=x+iy$ ?

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Dérivation

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C'est...La distance entre le point d'affixe z et l'origine du repère, c'est bien ça ?

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Professeur J

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Oui ça c'est la façon de le visualiser, mais si $z=x+iy$, c'est surtout :
$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$

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Dérivation

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Ahhh, mais oui !
Du coup, ça veut dire que $|z'| = \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2}$ ? (J'ai mis z' car z est déjà l'affixe du point M.)
Et donc $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 2$ ?



Dernière édition par Dérivation le Jeu 22 Oct - 17:07, édité 1 fois

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Professeur J

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Yep exact, et là tu reconnais une équation d'un objet relativement connu Laughing

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Dérivation

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Mais bien sûr, une équation de cercle ! Et on trouve bien un cercle de centre (2;-1) et de rayon $r^2 = 2$ soit $r = \sqrt{2}$ . Merci beaucoup Smile !

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Professeur J

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Oui exact, je t'en prie^^

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Dérivation

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Me revoilà bloqué sur une question du même genre...Cette fois-ci, on a les points A d'affixe 1 + 2i et B d'affixe -2 + i.
On dit aussi que D (noté delta dans l'énoncé) est l'ensemble des points d'affixe z vérifiant $|z-1-2i| = |z+2-i|$ .

Il s'agit de déterminer l'ensemble D grâce à la forme algébrique z = x + iy. Je tombe sur une équation de droite. Le problème, c'est de démontrer qu'elle est la médiatrice de [AB] (trouvé dans la première partie de l'exercice). Comment, à partir d'une équation de droite et des coordonnées de deux points, prouver que la droite est perpendiculaire au segment formé par les deux points et passe par son milieu ?

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Professeur J

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La médiatrice d'un segment a aussi pour définition "l'ensemble des points équidistants des deux extrémités du segment" Smile

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Dérivation

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Oui, ça c'était le but de la première question, qui m'a donné le résultat à savoir que l'ensemble D est la médiatrice du segment. Maintenant il faut que je prouve ça en utilisant la forme algébrique, et je tombe sur une équation de droite, et je dois prouver que cette droite est la médiatrice du segment.

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