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Fonction globale : Incompréhension total

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Kaesin

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Bonjour,

J'ai un énorme soucis,

Je passe un temps fou sur mon exo, mais au final je me rends compte que rien est correct..

Je vous explique : Question 1 rien à voir donc reussi

Question 2: (Voir photo) Sachant qu'à la question 3 on me demande de rendre la fonction SURJECTIVE, j'ai donc essayer de démontrer qu'elle était injective a la question 2.

Le soucis c'est quand on trace la courbe, (Vous pouvez tracez sur un site comme :http://grapheur.cours-de-math.eu/  la fonction (x^2)/(x^2+1) )
On voit très clairement qu'elle est surjective de base.

Donc moi je suis bloqué pourquoi chercher t-on à restrindre un intervalle d'une fonction surjective pour la rendre de nouveau surjective..? Je sèche.

Voilà des photos de la question que je vous parle :
Et ce que j'ai fais :

Je trouves ça vraiment bizarre.

Pour la question 3 , je serais pour determiner un ensemble d'arriver comme [0;1]...

Je sais que c'est très confu mon sujet..  Mais si vous avez 5min à m'accorder sa serait super ! cheers cheers

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Curry

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Salut,

En quelle classe es tu ?

Tu as tracé la courbe et tu vois qu'elle est surjective ?? Peux tu trouver un antécédent pour -1 ?
Si tu as tracé la courbe, tu as du voir qu'elle n'était pas injective ! Elle est clairement paire, et donc pour tout x réel on f(x) = f(-x).

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Kaesin

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Je suis en première année d'une prépa TSI.


Bah moi je suis en plainne confusion, car on peux clairement voir les antécédents de 0.5, qui sont -1 et 1 et donc si y'a plus de 1 antecedant elle est surjective...? Non ? Sad Sad

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Curry

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Tu arrives à trouver un x réel tel que $$\frac{x^2}{x^2+1} = -1$$
?????

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Kaesin

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Ouais non pas possible en effet..

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Donc elle n'est pas surjective. Et tu as montré qu'elle n'était pas injective via f(-1) = f(1) = 0.5.

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Kaesin

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Mais dans ma question 1 on me demande si elle est injective ou surjective..

ça serait bête de me mettre qu'elle n'est aucunes de deux...

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Où est le soucis ? On te demande si elle est surjective : non. On te demande si elle est injective : non.
Et heureusement qu'elle n'est aucune des deux, sinon les questions suivantes qui te demandent de trouver une restriction qui est injective/surjective serait obsolète.

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Kaesin

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VOILA ! Voilà pourquoi je suis perdu !! Je me disais bien que y'avait une des deux autre question derrière qui du coup était absurde !


Pour l'ensemble d'arrive pour la 3  (pour qu'elle devienne surjective) j'ai mis F va de R -> [0,1[

Pour la 4 (injective) j'ai mis f va de [0;+l'inf[ -> [0,1[

Est ce que ça te parait correct ?

Et je me reste bloqué pour la 5 pour la bijection reciproque, j'arrive pas à trouver un unique antécendant de ma fonction

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Curry

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Ok c'est bon. As tu montré qu'elle était bien injective et surjective pour cette restriction?

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Kaesin

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ça suffit pas à montré qu'elle l'es ?

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Curry

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Ben $f\ :\ [0,+\infty[ \rightarrow [0,1[$ est bien bijective, mais il faut le montrer

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Kaesin

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Mmmh, comment je peux faire ça ?

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Curry

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Comprends tu ce que tu fais ? C'est la méthode classique.
Soient $x,y \in [0,+\infty[$ tels que $f(x) = f(y)$ alors tu dois montrer que $x=y$. Ca c'est montrer l'injectivité.
Soit $y \in [0,1[$, trouves un $x \in [0,+\infty[$ tel que $f(x) = y$. Ca c'est montrer la surjectivité.

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Kaesin

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Montré l'injectivité du coup je l'ai faite non ? Sur la photo n.2 j'ai fais ça avec f(x)=f(x') ?

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Curry

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Toi tu avais montré que $f\ :\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ était injective, ce qui est FAUX !
Regardes ce que tu avais fait, et vois ton erreur.

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Kaesin

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Je vois pas... Certe j'ai pris pour R -> R, mais après je vois pas vraiment désolé Sad

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Curry

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Comment justifies $x^2 = x'^2 \Rightarrow x = x'$ ?

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Kaesin

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Un ami m'a dis que pour ça j'aurai du mettre un environ égal plutot qu'un =

D'après lui la racine caré est environ egale a un carré , est ce que c'est ça ?

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Je ne sais pas ce que tu racontes mais c'est n'importe quoi.
$x^2 = x'^2 \Rightarrow (x = x')\ \text{ou}\ (x = -x')$. Là comme $x$ et $x'$ sont dans $[0,+\infty[$ (ce que tu n'avais pas dans la question 2), alors ils sont tous les deux positifs et donc $x = x'$.

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Kaesin

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D'accord, je comprends mieux.

Donc je me sert de ça pour montré que la fonction est injective sur cet ensemble à la question 4 c'est ça ?

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Voila, c'est ça.

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Kaesin

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Et pour montré la surjectivité que f(x)=y.

Parce que tu me dis de la montrer, avec mon intervalle je sais pas ça parait logique "graphiquement" mais numériquement je vois pas comment exprimé propre ça.
Ou je laisse comme ça ? Surprised

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Il faut le prouver.

Soit $b \in [0,1[$, je cherche $x \in [0,+\infty[$ tel que $f(x) = b \Leftrightarrow \frac{x^2}{x^2+1} = b \Leftrightarrow x^2 = b(x^2+1) \Leftrightarrow b(x^2+1)-x^2 =0 \Leftrightarrow x^2(b-1)+b = 0 \Leftrightarrow x^2 = -\frac{b}{b-1} $
Dans la dernière équation j'ai pu diviser par $b-1$ parce que $b \neq 1$. Maintenant à toi de voir si cette équation admet des solutions (ce que je viens de faire ressemble énormément à la question 1).

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Kaesin

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Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
Ah d'accord ! Super je vais chercher ça merci beaucoup.

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