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[TS]Limite d'une suite.


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1 [TS]Limite d'une suite. le Mer 28 Oct - 18:35

Nasir


Posteur Débutant
Posteur Débutant
Bonjour!
J'ai commencé un DM à rendre pour la semaine prochaine, j'ai fait plus de la moitié mais je bloque sur un exercice :
http://www.noelshack.com/2015-44-1445961968-20151027-170515.jpg
Je sais pas par où commencer, j'ai pensé que la limite se rapprocherait de 0 car on multiplie une infinité de nombre compris entre 0 et 1 entre eux, mais ça tient pas la route du tout.
Quelqu'un aurait un début de piste? Merci.

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2 Re: [TS]Limite d'une suite. le Mer 28 Oct - 19:48

Dérivation

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Posteur Motivé
Posteur Motivé
Bien sûr que la limite est 0. Si tu multiplies des nombres de plus en plus petits entre eux, tu vas obtenir quelque chose de très petit, non ? Regarde déjà ce que ça fait pour n = 3, ça te donne $(1/4)*(1/9)*(1/16)$. Ça fait $1/576$ si je ne me trompe pas, c'est déjà très petit.

Après pour la rédaction je suppose qu'il faut juste dire que la raison (qui vaut donc $(1-(1/n^2)$ ) est toujours inférieure à 1 pour $n >= 2$.

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3 Re: [TS]Limite d'une suite. le Mer 28 Oct - 20:48

Nasir


Posteur Débutant
Posteur Débutant
Salut, merci pour ta réponse.
J'ai pas vraiment compris ton explication : ce n'est pas (1/4)∗(1/9)∗(1/16) mais (1-(1/4))∗(1-(1/9))∗(1-(1/16)), soit (3/4)*(8/9)*(15/16)...
Les termes sont donc pas de plus en plus petits mais de plus en plus grands, sans jamais dépasser 1, ce qui rend la chose plus complexe.
La première chose que j'ai fait est de tester la suite pour différents n, et la suite semble + tendre vers 0.5 que vers 0, c'est pour ça que j'ai dit que mon explication ne tenait pas la route.

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4 Re: [TS]Limite d'une suite. le Mer 28 Oct - 21:28

Dérivation

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Posteur Motivé
Posteur Motivé
Haaa, oui, en effet, j'ai dû mal lire l'énoncé, désolé. Du coup je ne vois pas...Voyons voir. Vers quoi semble tendre le terme de rang n ? $(1-(1/n^2))$, ça tend vers 1 ça. Doooonc, euh...En effet, je suis aussi bloqué que toi pour le coup. :/
Ça donne quoi si tu la modélises sur ta calculatrice ?

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5 Re: [TS]Limite d'une suite. le Ven 30 Oct - 12:09

Nasir


Posteur Débutant
Posteur Débutant
Ca tend bien vers 1/2, mais je suis en panne d'idée pour trouver pourquoi.

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6 Re: [TS]Limite d'une suite. le Sam 31 Oct - 13:20

PouletAtomique

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Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
Déjà si ça semble tendre vers 1/ il faut justifier que la suite admet une limite :d) Regarde sa croissance et si elle est bornée -> elle va converger

Ensuite pour trouver sa limite faut réfléchir un peu , essayes de mettre au même dénominateur moi j'ai pas d'idées Very Happy

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7 Re: [TS]Limite d'une suite. le Sam 31 Oct - 13:51

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Oui je pense que ça peut être une bonne idée de mettre sous forme de même dénominateur, si besoin en écrivant :

$$u_n=\prod_{k=2}^{n}(1-\frac{1}{k^2})$$

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8 Re: [TS]Limite d'une suite. le Sam 31 Oct - 14:09

PouletAtomique

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Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
Ouaip j'avais fait ça mais bon peu concluant :rire:

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9 Re: [TS]Limite d'une suite. le Dim 1 Nov - 13:01

Nasir


Posteur Débutant
Posteur Débutant
Bonjour! Merci pour vous réponses. J'ai essayé plusieurs choses mais je suis toujours bloqué : lorsque je met sous forme fractionnaire chaque terme pour pouvoir essayer de les multiplier entre eux,donc en rassemblant les dénominateur, j'arrive à :

((2^2 -1)×(3^2 -1)×...×(n^2 -1)) / (2×3×...×n)^2

Je ne vois pas trop où ça peut me mener, je n'arrive pas vraiment à simplifier tout ça. Pourriez-vous me donner une piste si vous en avez?

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