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Prouver qu'une suite converge


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1 Prouver qu'une suite converge le Ven 30 Oct - 22:32

Vince77


Posteur Débutant
Posteur Débutant
Bonjour,

Je suis actuellement bloqué sur un exercice autour de la suite suivante :

$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que :
- $a_1\geq 0$
- $a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}$ $(*)$

Une partie de l'exercice me demande de montrer que cette suite converge. J'ai compris qu'il fallait montrer que l'écart entre $a_n$ et $a_{n+1}$ devenait de plus en plus petit.

On a également droit à deux indices :

1. Prouver que $|a_{n+1}-a_n|\leq\frac{1}{2}|a_n-a_{n-1}|$
2. $a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$ $(**)$

Pour commencer, j'avais développé $|a_{n+2}-a_{n+1}|$ et $|a_{n+1}-a_n|$ selon ce que l'on sait de $(*)$, et donc j'avais écrit les deux expressions en fonction de $a_n$. Ensuite, j'avais utilisé $(**)$, mais je n'arrive toujours pas à voir le lien entre les deux qui me permettrait de dire que l'un est plus grand que l'autre.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Je galère depuis 1h30 sur ce problème, et j'ai l'impression de n'avoir pas du tout avancé...

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2 Re: Prouver qu'une suite converge le Sam 31 Oct - 13:21

PouletAtomique

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Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
Pitié essayes de ré écrire en LATEX

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3 Re: Prouver qu'une suite converge le Sam 31 Oct - 13:33

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Ouais, je vais déjà modifier ton message pour que ça soit lisible... Derien Very Happy

Edit : voilà, dis moi si c'est ok.

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4 Re: Prouver qu'une suite converge le Sam 31 Oct - 22:10

Vince77


Posteur Débutant
Posteur Débutant
Oui c'est bien ça, merci. (Désolé, je n'utilise pas Latex).

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5 Re: Prouver qu'une suite converge le Lun 2 Nov - 10:45

Curry

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Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Salut,
L'exercice est résolu non ? Si tu as montré que $|a_{n+1} - a_n| \leq \frac12 |a_n - a_{n-1}|$ alors tu as $$ |a_{n+1} - a_n| \leq \frac{1}{2^n} |a_1 - a_0|$$

Et donc la suite converge.

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6 Re: Prouver qu'une suite converge le Mar 3 Nov - 18:50

Vince77


Posteur Débutant
Posteur Débutant
Non justement, ça c'est ce que je dois prouver; mais je ne vois pas comment y parvenir.

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7 Re: Prouver qu'une suite converge le Mar 3 Nov - 20:03

Curry

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Professeur de Mathématiques
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Quelle définition as tu de suite convergente ?

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8 Re: Prouver qu'une suite converge le Mer 4 Nov - 14:36

Vince77


Posteur Débutant
Posteur Débutant
Une suite (a_n) converge vers a si pour tout epsilon >0, il existe un N naturel tel que la valeur absolue de a_n - a < epsilon pour tout n > N.

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9 Re: Prouver qu'une suite converge le Mer 4 Nov - 15:45

Curry

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Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
N'as tu pas vu les suites de Cauchy ? Cette suite converge vers $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Pour montrer que ça converge vers $\varphi$, on le fait en deux étapes :
1. On montre que si la suite converge, alors c'est forcément vers $\varphi$
2. On montre que la suite converge (ici on montre qu'elle est de Cauchy).
Je ne vois pas comment montrer ça autrement.

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