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Récurrence et suites ( Terminale )

le Dim 15 Nov - 20:00
Bonjour, je bloque sur une question a priori plutôt simple...

Il s'agit de démontrer par récurrence que pour n non nul on a un>15/4 * 0.5^n

( (Un) est la suite définie par u0 = 2 et un+1 = 1/5 * un + 3 * 0.5^n )

L'étape d'initialisation c'est bon
Le problème vient sur l'hérédité

Par hypothèse : un> 15/4*0.5^n
1/5*un > 3/4*0.5^n
1/5*un+3*0.5^n > 3/4 + 3 *0.5^n *0.5 ^n

Et là je bloque parce que la multiplication est prioritaire je n'ai pas le droit de simplifier (3/4 + 3 = 15/4) pour retrouver 15/4 non ?
Et puis même si je le fais je me retrouve avec Un+1> 15/4 *0.5^n *0.5^n ( Alors que je cherche Un+1 > 15/4 *0.5 ^n+1 pour prouver la récurrence

A l'aide Smile
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Re: Récurrence et suites ( Terminale )

le Dim 15 Nov - 20:45
Ton exo tombe tout seul...

T'écris que 1/5Un>3/4*(0.5)^n

T’additionnes 3*(1/2)^n des deux côtés

Tu te retrouves avec Un+1>3/4(1/2)^n+3*(1/2)^n

Tu factorises par (1/2)^n

et voilà
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Re: Récurrence et suites ( Terminale )

le Dim 15 Nov - 21:00
Rolling Eyes
Effectivement, merci...
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