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besoin d'aide récurrence

le Mar 24 Nov - 21:58
Salut !

Je dois montrer que pour $n\in\mathbb{N}^*$, on a :
$$\sum_{i=1}^{n}i(i+1)(i+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3).$$

J'ai d'abord fait l'initialisation pour $n=1$ :

$1\times 2\times 3=6$
Et :
$\frac{1}{4}\times 2\times 3\times 4=\frac{24}{4}=6$
Donc la proposition est vrai au rang $1$.

Puis je pose $P(n)$ la proposition au rang $n$ et je veux démontrer que $P(n+1)$ est vraie, soit :

$$\sum_{i=1}^{n+1}i(i+1)(i+2)=\frac{1}{4}(n+1)(n+2)(n+3)(n+4).$$

Je ne sais pas comment continuer, quelqu'un pourrait me débloquer et m'expliquer comment m'y prendre ? Merci.

Et si vous avez quelques astuces pour la récurrence, n'hésitez pas !
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Re: besoin d'aide récurrence

le Mar 24 Nov - 22:00
Salut, aïe ça pique les yeux sans Latex Sad
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Re: besoin d'aide récurrence

le Mar 24 Nov - 22:18
Petit conseil, décompose la somme comme ceci :
$$\sum_{i=1}^{n+1}i(i+1)(i+2)=(\sum_{i=1}^{n}i(i+1)(i+2))+(n+1)(n+2)(n+3)$$
Ensuite, il faut bidouiller un peu mais je te laisse y réfléchir Smile
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Re: besoin d'aide récurrence

le Mar 24 Nov - 23:17
$$\sum_{i=1}^{n+1}i(i+1)(i+2)=(\sum_{i=1}^{n}i(i+1)(i+2))+(n+1)(n+2)(n+3)$$


$$\sum_{i=1}^{n}i(i+1)(i+2) = 1/4n(n+1)(n+2)(n+3) par hypothèse de récurrence .

donc on veut démontrer 1/4n(n+1)(n+2)(n+3)+(n+1)(n+2)(n+3) = 1/4(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
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Re: besoin d'aide récurrence

le Mar 24 Nov - 23:25
j'ai besoin d'aide pour la démonstration de l'égalité car je suis vraiment mauvais à ça Question Question
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Re: besoin d'aide récurrence

le Mer 25 Nov - 7:54
Je pense qu'une des transformations les plus "naturelles" est de factoriser par $(n+1)(n+2)(n+3)$, non ?
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