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Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 18:49
Salut à tous,

Voilà cette suite :

Un = [(1+(1/n))*(1+(2/n))*(1+(3/n))*...*(1+(n/n))]^(1/n)

En voyant cette suite, j'ai intuitivement pensé que ça tendait vers racine de 2 mais je n'arrive pas à le prouver et j'aurais besoin de pistes pour le démontrer, je ne vois pas sous quelle forme le mettre...

J'ai essayé de mettre sous cette forme mais je n'arrive pas plus à le prouver.

Un = [((n+1)/n)*((n+2)/n)*((n+3)/n)*...*(2)]^(1/n)

Voilà la forme simplifiée pour ceux qui préfèrent : http://www.noelshack.com/2015-50-1449595600-suite.png

Merci d'avance pour votre aide Smile
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 19:00
Réputation du message : 100% (2 votes)
Salut,

$$u_n = \left( \prod_{k=1}^n \frac{n+k}{n} \right)^{\frac{1}{n}} $$

Comment as tu l'intuition que ça tend vers $\sqrt2$ ? Ca ne me saute pas aux yeux. En développant ton intuition (si elle est bonne), tu devrais tomber sur une bonne piste.
Sinon passer au logarithme me semble une bonne idée.

Je repasserai un peu plus tard voir ce que tu as écrit.
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 19:38
Mon intuition n'est pas fondée sur grand chose à vrai dire. J'ai juste remarqué que les résultats de (n+k)/n sont tous compris entre 1 et 2, dès lors on aura proportionnellement la moitié des termes répartie entre 1 et 1,5 et l'autre moitié répartie entre 1,5 et 2. La croissance est évidemment plus grande pour la deuxième moitié donc l'influence est inductive, et on se retrouve avec :

[2^(n/2)]^(1/n)

Ce qui donne racine de 2. Mais bien sûr je n'en ai aucune certitude et c'est peut-être totalement faux.  Smile

TT = Pi majuscule (désolé je ne trouve pas le clavier mathématiques)

Un = [TT (n+k)/n ]^(1/n) = TT [((n+k)/n)^(1/n)]

De là on peut écrire,

Un = TT [exp((1/n)*ln((n+k)/n))]

D'après les propriétés de multiplicité de l'exponentielle et de sa non-implication dans le produit on peut dire,

Un = exp(1/n)*TT [exp(ln((n+k)/n))]

Donc,

Un = exp(1/n)*TT [(n+k)/n]

Limites en +infini :

Lim exp(1/n) = 1

Lim TT [(n+k)/n] = +infini

Si je n'ai pas fait d'erreur, le produit est indéterminé.
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 20:02
Non

Appliques le log à Un , tu te retrouves avec une somme bien plus facile à déterminer
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 20:51
Un = (1/n)*[log(1/n)+log(TT n+k)]

?
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 20:53
ln(Un) =??
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 21:10
ln(Un) = (1/n) *[ln((n+1)/n)+ln((n+2)/n)+ln((n+3)/n)+...+ln((n+n)/n)]

Donc,

ln(Un) = (1/n) * (Somme de k=1 à n)[ln((n+k)/n)]


Avec n vers l'infini

lim ln((n+1)/n)=0
lim ln((n+k)/n)=0,69

lim S ln((n+k)/n)= ?
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 22:10
Pour écrire de plus jolies (lisibles) formules tu peux utiliser le langage $\LaTeX$, je ne sais pas si tu connais.
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 22:28
Réputation du message : 100% (1 vote)
Je me permets de continuer le calcul, parce que je connais pas la suite (et pour que ça soit plus lisible).

$\ln (u_n) = \frac1{n} \times \sum_{k=1}^n \ln(\frac{n+k}{n})$

$=\frac1{n} \times \sum_{k=1}^n \ln(n+k) - \ln(n))$

$= -\ln(n) + \frac1n \times \sum_{k=1}^n \ln(n+k)$

A partir de là je ne vois pas, désolé. La réponse viendra surement demain.

Par contre $u_n$ n'est pas n'importe quoi, c'est la moyenne géométrique des $\frac{n+k}{n}$ pour $k = 1,..,n$. Tu dois pouvoir travailler de ce coté là. En faite ça devrait tendre vers une certaine intégrale. Mais je ne sais pas si tu as vu tout ça (notamment la théorie de la mesure et toute la machine qui va avec).
J'y réfléchis et te donne une réponse demain si tu n'as pas trouvé.
Mais encore une fois il doit y avoir une petite astuce tout bête que je ne vois pas maintenant.
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mar 8 Déc - 22:42
Évidement, quelle quiche je fais, j'avais trouvé la réponse, mais ça ne collait pas avec les estimations sur excel : j'avais oublié de tout remettre dans l'exponentielle.

Il faut rester sur le terme $$\ln(u_n) = \sum_{k=1}^n \frac1n \ln(\frac{n+k}{n})$$

Ca doit te faire penser à quelque chose !
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 13:33
Je ne vois vraiment pas la solution, j'ai pensé à l'intégrale mais il ne me semble pas que ça nous apporte quelque chose.
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 13:41
Si ! C'est bien une intégrale que tu sais calculer.
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:06
Somme de Rienman? (ptet que je dis de la merde :noel: )
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:11
Non c'est ça ! Du coup la somme converge en $+\infty$ vers une intégrale.
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:13
$ \ln(u_n) = \sum_{k=1}^n \frac1n \ln(\frac{n+k}{n}) = \frac1n \sum_{k=1}^n  \ln(\frac{n+k}{n}) $

Dans le cas où $ n $ tend vers $ + \infty $

$ \ln(u_n) = \frac1n \int_1^2 \frac1x dx $

$ \ln(u_n) = \frac1n [\ln(x)]_1^2 $

$ \ln(u_n) = \frac1n \ln(2) $

Donc,

$ \lim_{n\to +\infty} \frac1n \ln(2) = 0 $

Par conséquent,

$ \lim_{n\to +\infty} (u_n) = \lim_{n\to +\infty} \exp[ \frac1n \ln(2) ] = 1 $


Est-ce correct ? Je doute du résultat et ça ne me semblait pas du tout tendre vers 1. Neutral


Dernière édition par Nrehz le Mer 9 Déc - 14:19, édité 2 fois
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:17
Lim de ln2/n ça tends vers 0 hein
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:18
Heu non, ça tend vers l'intégrale de $\ln(x)$ entre 1 et 2.
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:19
Oui exact, faute d'écriture, ça ne change rien à la suite. J'ai corrigé.
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:20
La primitive de ln[u] c'est uln[u]-u
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:24
En effet merci, je vais faire ça
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:35
$ \ln(u_n) = \frac1n \int_1^2 \ln(x) dx $

$ \ln(u_n) = \frac1n [x\ln(x)-x]_1^2 $

$ \ln(u_n) = \frac1n [(2\ln(2)-2)-(1\ln(1)-1)] $

$ \ln(u_n) = \frac1n [2\ln(2)-1] $

Donc,

$ \lim_{n\to +\infty} \ln(u_n) = \lim_{n\to +\infty} \frac1n (2\ln(2)-1) = 0 $

$ \lim_{n\to +\infty} (u_n) = \lim_{n\to +\infty} \exp[ \frac1n (2\ln(2)-1)] = 1 $
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:39
Pourquoi tu gardes ton 1/n?

Sauf si mes souvenirs me font défauts , toute ta somme de rienman tends vers l'intégrale de f

Donc vire ton 1/n
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:39
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 14:40
Ta limite c'est 4-e~1.3

Et racine de 2 c'est 1.41 donc en fait t'étais pas si loin que ça , bien joué ! :noel:
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Re: Limite en l'infini d'une suite

le Mer 9 Déc - 15:02
Désolé, je ne comprends pas ce que tu veux dire pour le 1/n.

Je ne connaissais pas la somme de Riemann avant, ça aurait été difficile ! Comment trouves-tu ce résultat ?
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