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DM de Spé maths : Gauss et Bezout

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Dérivation

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Mais pourquoi est-ce que ça marche ? Pourquoi les nombres tels que 17u+5v=1 sont solution du système :
$n0≡9(17)$
$n0≡3(5)$

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Professeur J

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Mais tu sautes des étapes là, non ? Là on vient juste de trouver une solution particulière. Relis bien dans l'ordre Smile

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Je m'y perds un peu dans ton énoncé, car il y a des fragments un peu partout dans le topic... afro

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Oui, désolé, je peux pas mettre de photo.

Donc on avait les deux démonstrations (démontrer Gauss par Bezout et le corollaire de Gauss pour lequel j'ai demandé de l'aide), puis :

On étudie le système :

$n≡9(17)$
$n≡3(5)$

1) On désigne pas (u;v) un exemple d'entiers tels que : $17u+5v=1$
a) Justifier l'existence d'un tel couple d'entiers. (Facile, 17 et 5 sont premiers entre eux donc on peut appliquer Bézout.)

b) On pose $n0 = 17u * 3 + 9 * 5v$. Démontrer que n0 appartient à $S$ (ensemble des solutions du système mentionné).

c) Donnez un exemple d'entier n0 appartenant à $S$.

2) a) Soit n appartient à $S$. Démontrez que n-n0 congru à 0 modulo 85. (On applique le corollaire de Gauss car n-n0 est congru à 0 modulo 5 et modulo 17 car ils sont tous deux des solutions.)

b) Déduisez-en qu'un entier relatif appartient à S ssi il peut s'écrire sous la forme $n = 43 + 85k$.

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Professeur J

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Ah c'est plus clair Smile Donc là on était en train de répondre à la question $1)c)$ en trouvant un couple d'entiers tels que $17u+5v=1$. Comme on a dit que $n_0=17u\times 3+9\times 5v$ est une solution, alors en remplaçant dans cette dernière expression $u$ et $v$ par le couple trouvé, on obtient un exemple d'entier $n_0$ appartenant à $S$ (il te reste à remplacer et calculer).

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Mais je me demande juste pourquoi c'est les mêmes u et v ?

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Les mêmes, où ça ? C'est juste un cas particulier de couple $(u,v)$ qui marche, la question en demande qu'un pour avoir une solution particulière.

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Ah...D'accord, je vois. Du coup, si on choisit un autre couple d'entiers u et v pour vérifier l'égalité de Bézout, y a aucune garantie que le n0 qu'on trouverait à partir de ces chiffres serait solution du système, c'est ça ?

C'est dingue ce qu'on peut se sentir bête en vacances tout de même. ><

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Professeur J

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Si ça fonctionnerait avec n'importe quel autre couple tel que $17u+5v=1$. Mais il faut que tu répondes à la question à un moment quand même Smile

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Posteur Motivé
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...Donc, si on a $17u + 5v = 1$, tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme $n0 = 17u * 3 + 9 * 5v$ sont solutions ? Mais du coup on l'a, l'ensemble S, non ?

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Professeur J

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Dès que tu vas choisir un couple $(u,v)$ tel que $17u+5v=1$, alors $n_0$ conviendra. Mais qui te dit qu'il n'existe pas d'autres solutions ?

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Ah, je vois. Merci beaucoup pour votre aide. ^^

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Professeur J

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Tu arrives bientôt à la fin Razz

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