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Limite exponentielle


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1 Limite exponentielle le Ven 8 Jan - 21:34

Azertybob

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Posteur Motivé
Posteur Motivé
Bonjour, je galère à déterminer la limite en l'infini de :

$$ x(e^{1/x} -1) $$

Ça m'aiderait à déterminer la limite de:

$$ x(e^{1/x} - cos(1/x)) $$

Merci Very Happy

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2 Re: Limite exponentielle le Ven 8 Jan - 21:50

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Salut, tu devrais faire le changement de variables $X=\frac{1}{x}$ et regarder ce qu'il se passe Smile

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3 Re: Limite exponentielle le Ven 8 Jan - 22:02

Azertybob

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Posteur Motivé
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J'avais essayé sans succès...

on pose $X=1/x$ :

$$x(e^{1/x}−1)=\frac{1}{X} (e^X - 1)$$

On cherche la limite en + infini on a:

$$\lim_{x\rightarrow \infty } x(e^{1/x}−1)= \lim_{X\rightarrow 0} \frac{1}{X} (e^X - 1)$$

On a toujours une F.I là du type 0 * $\infty$

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4 Re: Limite exponentielle le Ven 8 Jan - 22:11

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Il s'agit d'une limite remarquable du cours de terminale cheers

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5 Re: Limite exponentielle le Ven 8 Jan - 22:12

Azertybob

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Posteur Motivé
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@Professeur J a écrit:Il s'agit d'une limite remarquable du cours de terminale cheers

Ah d'accord j'ai commencé le chapitre ce matin du coup je savais pas... Merci!

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6 Re: Limite exponentielle le Ven 8 Jan - 22:23

Azertybob

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Posteur Motivé
Posteur Motivé
Du coup pour revenir à la question principale:


$$f(x)= x(e^{1/x}−cos(1/x))$$

Du coup j'ai commencé par encadré cos(1/x) et j'arrive à:

$$x(e^{1/x} -1) < f(x) < x(e^{1/x} +1)$$

Mais là je peux pas utiliser le théoreme des gendarmes, du coup je dois trouver une autre fonction majorant f(x) tel que sa limite soit 1 en + $\infty$?

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