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Un ensemble contenant C?

le Mer 27 Jan - 15:22
ça existe? (Question de mon petit frère :p )
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Re: Un ensemble contenant C?

le Mer 27 Jan - 16:31
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Re: Un ensemble contenant C?

le Mer 27 Jan - 17:32
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Salut,
Ta réponse est oui. Après pour raffiner il faut que l'on sache ce que tu cherches.
Juste en tant qu'ensemble tu peux considérer $\mathbb{C} \cup \{u\}$. Alors tu as bien que $\mathbb{C}$ qui est inclu dans cet ensemble.
En tant qu'espaces vectoriels tu peux regarder $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$.
En tant que $\mathbb{R}$-algèbres tu peux en effet regarder le lien de Lavoisier.
En tant que $\mathbb{C}$-algèbres tu peux regarder $\mathbb{C}[X]$ : les polynômes complexes à une indéterminée.

De manière générale il n'existe JAMAIS de plus grand ensemble/espace vectoriel/groupe/anneau/algèbre ...

Mais la question que tu poses est intéressante suivant le sens de "contenir". Si tu veux plus de détails je peux essayer de t'expliquer pourquoi ta notion de "contenir" est assez flou (au risque de quelques cheveux arrachés, ou même de blocage de ta part ^^)  Smile
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Re: Un ensemble contenant C?

le Mer 27 Jan - 18:12
Je crois qu'il s'agit d'une magnifique réponse Very Happy
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Re: Un ensemble contenant C?

le Mer 27 Jan - 19:33
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Oui en effet il y a les quaternions j'en avais entendu parlé en prépa mais clairement j'y avais pas fait plus gaffe que ça !

Et oui j'aimerais beaucoup que tu m'expliques Curry, je suis assez curieux et j'aime bien apprendre de nouveaux trucs ! Very Happy

En tout cas c'est sympa de ta part de me répondre de manière aussi complète Smile
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Re: Un ensemble contenant C?

le Mar 2 Fév - 10:57
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Salut,
J'avais complétement oublié de répondre.

Je pense que tu seras d'accord pour dire que $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{C}[X]$.
Maintenant, es tu d'accord pour dire que $\mathbb{R} \subset \mathbb{R}^*_+$ ? Je pense que ça va coincer ici.

Et pourtant, (pratiquement) toutes ces inclusions sont du même type. Quand tu écris $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$, tu dis que $\mathbb{Z}$ vit dans l'espace "ambiant" $\mathbb{Q}$ ... Ce qui est faux !
$\mathbb{Q}$ est l'ensemble $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$ où l'on identifie les couples $(a,b)$ et $(a',b')$ si $ab'=a'b$. On définit une multiplication par $(a,b)(a',b') = (aa',bb')$ et une addition par $(a,b)+(a',b') = (ab'+a'b,bb')$. On vérifie ensuite que $(0,1)$ et $(1,1)$ sont respectivement les neutres de l'addition et de la multiplication. Tu peux ensuite vérifier que cet ensemble correspond exactement au $\mathbb{Q}$ habituel (où le couple $(a,b)$ représente la fraction $\frac{a}{b}$).

L'inclusion $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ est tout de suite moins évidente à voir quand on écrit $\mathbb{Q}$ comme ça. Et on voit bien que les deux ensembles ne "vivent" pas dans le même monde.

Une inclusion n'est qu'une application injective. Seulement il y a des cas où elles sont plus faciles accepter. Dans le premier cas on est tous d'accord que ce sont de belles inclusions, il n'y a pas de soucis. Mais $\mathbb{R} \subset \mathbb{R}^*_+$ est également vraie si l'application injective est donnée par l'exponentielle. Mais pourtant on a bien $\mathbb{R}^*_+ \subset \mathbb{R}$ aussi ...

Ce "refus" vient de notre intuition qui est très mauvaise quand les ensembles sont infinis. Un ensemble peut sembler être BEAUCOUP plus gros qu'un autre, et pourtant ils peuvent avoir le même nombre d'élément (on dit qu'ils ont même cardinal, une généralisation des ensembles finis).

Un autre soucis, les premières inclusions respectent l'addition et la multiplication. Elles gardent la notion d'anneau, tant que pour l'inclusion donnée par l'exponentielle elle transporte la structure de groupe et la modifie.

Tout ça pour te dire que la notion d'inclusion dépend fortement du niveau que tu as. Il y a de ça presque deux ans, dans mon langage un morphisme (de groupes/anneaux/algèbres) injectif est devenu une injection. C'est un peu difficile au début, mais avec le temps ça simplifie pas mal les écritures, et ça ne change absolument rien aux calculs.

Un dernier point : les premières inclusions étaient claires, naturelles, on dit "canonique". Maintenant on peut voir $\mathbb{R}$ comme une droite de $\mathbb{R}^2$. On a donc une inclusion. Mais laquelle ? On peut voir $\mathbb{R} = \mathbb{R} \times \{0\} \subset \mathbb{R}^2$ ou encore $\mathbb{R} = \{0\} \times \mathbb{R} \subset \mathbb{R}^2$ ou même voir $\mathbb{R}$ comme la diagonale de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Dans ce cas l'inclusion n'est pas canonique, c'est pour cela qu'on a du mal à dire que c'est une inclusion, il n'y a pas de façon canonique de plonger $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^2$.

Plus tard si tu continues les maths, deux ensembles canoniquement isomorphes seront considérés comme égaux. Et encore plus tard deux ensemble isomorphes seront égaux.

Mais il te faut encore un peu de chemin avant d'arriver là ... Wink
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Re: Un ensemble contenant C?

le Ven 5 Fév - 18:03
haha merci Curry, je vais y réfléchir à tête reposée Very Happy

En tout cas c'est cool de m'avoir répondu ! Smile
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