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Curry, Professeur T

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parties stables de $mathbb{N}$

le Mar 16 Fév - 16:07


on donne la définition: Pour toute partie A de $\mathbb{N}$, on note A' l'ensemble des successeurs stricts des éléments de A, càd l'image de A par la succession

Ainsi {3,4}' = {4,5} et {O,2,4,...2n}' = {1,3,5,...,2n+1}

définition :on note $\mathbb{N*}$ l'ensemble $\mathbb{N'}$ des successeurs stricts des entiers naturels.
L'ensemble $\mathbb{N*}$ est un sous-ensemble strict de $\mathbb{N}$


Une partie stable ou héréditaire de $\mathbb{N}$ est une partie A de $\mathbb{N}$ qui vérifie l'inclusion A'$\subset$ A

0= n+1 est impossible d'où la relation 0 $\notin$ $\mathbb{N*}$

l'entier 0 n'est le successeur strict d'aucun entier naturel



Dernière édition par piok le Mer 17 Fév - 12:59, édité 2 fois
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Mar 16 Fév - 17:25
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut,
Qu'entends tu par
A($\mathbb{N}$){3,4}' = l'image de A dans la succession {4,5}
?

De même qu'entends tu par une "triple relation d'ordre sur $\mathbb{N}$.

Ensuite je ne sais pas ce que tu as fait précédemment, mais es tu parti d'axiomes pour définir $\mathbb{N}$ ? Si oui alors tu dois avoir comme axiome que 0 n'est le successeur strict d'aucun entier naturel.
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Mer 17 Fév - 10:38
Bonjour Curry,

c'est pour moi assez difficile de tenter d'expliquer ce que je ne comprends pas moi-même parfaitement. J'ai comme base de travail perso un simple bouquin qui aborde le sujet "Récurrence et nombres entiers" et dont la première partie est "Succession et parties stables de $\mathbb{N}$"

la succession je comprends avec l'application n---->n+1,  pour les parties stables de $\mathbb{N}$ je crois comprendre ce que ça signifie mais sans être cependant tout à fait clair alors je pense que le mieux aurait encore été de citer tout le passage du livre :

" Pour toute partie A de $\mathbb{N}$, on note A' l'ensemble des successeurs stricts des éléments de A, càd l'image de A par la succession "

Ainsi {3,4}' = {4,5} et {O,2,4,...2n}' = {1,3,5,...,2n+1}

on note $\mathbb{N*}$ l'ensemble $\mathbb{N'}$ des successeurs stricts des entiers naturels.

L'ensemble $\mathbb{N*}$ est un sous-ensemble strict de $\mathbb{N}$


Exemple l'égalité 0 = n+1 est en effet impossible d'où la relation 0 $\notin$ $\mathbb{N*}$ et la remarque selon laquelle l'entier 0 n'est le successeur strict d'aucun entier naturel

Une partie stable ou héréditaire de $\mathbb{N}$ est une partie A de $\mathbb{N}$ qui vérifie l'inclusion A'$\subset$ A


Exemple  $\mathbb{N}$ et $\mathbb{N*}$ sont des parties stables.

Voilà pour le livre.

Ce qui me paraît un peu flou c'est la première définition, qu'est-ce que la partie A de $\mathbb{N}$ ? ça ressemble à une fonction (c'est pourquoi je notais A($\mathbb{N}$)), d'autant plus que l'ensemble des successeurs stricts de A noté A' est l'image de A par la succession, terme qui renvoie aussi a la notion de fonction...

Ensuite la dernière définition citée dit que A' $\subset$ A

Je me posais alors la question de savoir si cela signifiait aussi
A $\subset$ $\mathbb{N*}$
$\mathbb{N*}$ $\subset$ $\mathbb{N}$

donc ordonnés à $\mathbb{N}$ ? d'où le terme mais certainement inapproprié en l'occurrence  Question  

C'est vrai que c'est pas facile sans dialogue direct et que la confusion est permanente dans cette manière d'apprendre, peut-être vaut-il mieux passer directement à la résolution d'exercices sur le sujet et puis se faire expliquer où on fait des erreurs, je ne sais pas confused
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Mer 17 Fév - 11:28
Salut Piok, voici un message qui va peut-être éclairer en "partie" tes interrogations Basketball

Je pense que tu n'as pas encore une culture assez grande en mathématiques pour comprendre dans son ensemble ton bouquin. Il te manque visiblement des informations concernant la théorie des ensembles, d'où des questions à se poser :
- qu'est-ce qu'un ensemble ?
- qu'est-ce qu'une partie d'un ensemble ?
- qu'est-ce que la relation d'appartenance ?
- qu'est-ce que la relation d'inclusion ?
- etc.

Pour répondre à ces questions, procure toi un bouquin sur les bases de la théorie des ensembles (ou bien garde Wikipédia sous la main, par exemple). Il s'agit de notions élémentaires, mais qu'il faut avoir comprises.

Deuxième remarque, il faut faire extrêmement attention au sens des mots en mathématiques. Si tu as rencontré le mot "partie" et que tu ne savais pas précisément ce qu'il désignait, il fallait avoir le réflexe de chercher sa définition. Toutes les notions (définitions) utilisées dans n'importe quel énoncé mathématique ont un sens précis et ont été définies clairement à un moment ou à un autre. Il n'y a et il ne doit y avoir aucune ambiguïté.

Sinon, pour répondre à ta question, une "partie" d'un ensemble $E$ est simplement un ensemble $F$ tel que $F\subseteq E$. Encore faut-il être au point sur ce qu'est un ensemble et ce que signifie le symbole $\subseteq$ Smile
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Mer 17 Fév - 12:55
salut,

oui, je comprends, c'est vrai que j'ai trop de notions mal, voire pas du tout intégrées, eh bien je vais reprendre depuis le début, dans ce domaine la patience et la persévérance ne peuvent être que des qualités à cultiver. Je vais aller sur wiki, en espérant y trouver de quoi avancer et acquérir ce qui me manque.

Merci de ta franchise, ça a l'avantage de clarifier la situation, c'est ce que j'avais besoin d'entendre, savoir où j'en suis...(apparemment nulle part Rolling Eyes) Je ne perds pas mon courage et mon intérêt pour autant, je continue study
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Mer 17 Fév - 13:02
Ne te décourage pas en tout cas, tu as un réel intérêt pour ce que tu fais, et ça y est fait beaucoup ! Smile Tu vas comprendre les choses en profondeur (en comparant à une certaine partie des élèves de lycée voire université qui "apprennent sans comprendre").

Et puis, ne t'inquiète pas, les bases de la théorie des ensembles (les quelques notions simples que j'ai citées) peuvent se comprendre très rapidement. Je n'étais pas en train de te conseiller de lire un bouquin de 200 pages sur le sujet Smile

Edit : évidemment, n'hésite pas à revenir vers nous pour la moindre question !
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Mer 17 Fév - 13:29
Merci de tes encouragements, c'est vrai que j'aime les mathématiques et c'est bien pour ça que je veux les comprendre,
l'art pour l'art ne m'intéresse pas je n'ai pas l'âme d'un parnassien...

Peux-t-on aimer sans comprendre ?... oui peut-être hélas mais la passion et le désir peuvent beaucoup, et comme disait Vincent Van Gogh parlant de dessin :

"En dépit de tout je me reléverai: je reprendrai mes crayons que j'aurais pu abandonner dans un grand découragement et je dessinerai encore et toujours." Smile
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Jeu 18 Fév - 9:26
Salut,

Je ne peux qu'appuyer ce qu'a dit Prof J. Il est nécessaire de bien comprendre les définitions, et de savoir les utiliser. Les mots en mathématiques ont un sens précis. L'utiliser dans un autre contexte montre que tu n'as pas compris, ou que ce n'est pas clair. En plus ça limite la discussion, puisque si tu me parle d'un mot A et qu'il n'a pas le même sens pour toi et moi on ne va pas s'en sortir ...

Mais ne t'en fais pas, ça viendra au fur et à mesure. Je le rappelle chaque jour à mes élèves parce qu'ils utilisent des mots précis dans un mauvais contexte. Dés que tu apprends quelque chose, que ne tu maitrises pas bien, tu es obligé de faire ce type d'erreurs ... et ce quel que soit ton niveau : j'utilise souvent mal des mots parce que je pense avoir compris et que ce n'est pas le cas. Mais dans ce cas là mon directeur de thèse est indulgent : ce n'est pas évident d'apprendre tout seul (comme dans ton cas).
Bref tout ça pas pour te raconter ma vie ^^ mais pour te dire que c'est normal de faire ces erreurs, elles disparaitront au fur et à mesure.
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Jeu 18 Fév - 10:22
Salut Curry

si je me suis inscrit ici c'est vraiment par désir d'apprendre, de progresser et de communiquer avec d'autres sur un sujet qui me passionne (trop tardivement hélas ^^) mais où tout n'est pas perdu pour autant, et je suis certain de ne pas m'être trompé d'endroit quand je lis vos encouragements à continuer, c'est beaucoup pour moi.

Je ne vais pas déserter le site loin de là, je vais regarder la théorie naïve (c'est bien pour moi ça  Wink ) des ensembles, et reprendre les bases qui me font défaut comme programme de travail en solitaire avec l'espoir d'en sortir plus fort.

Et comme m'y invite Prof, si j'ai une interrogation vraiment restée sans réponse après recherches alors je demanderai conseil.

Néanmoins, et si vous le souhaitez, je serai toujours reconnaissant de tout ce que vous pourrez me faire comme suggestions pour m'aider : plan de travail, docs ou autre idée par mp  (je n'ai pas d'autres contacts dans ce milieu Smile) Merci encore

A+

Piok
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Sam 20 Fév - 14:08
salut,

piok est de retour avec juste une question.  

si n$\rightarrow$ n' est appelée succession dans $\mathbb{N}$ tel que 0'=1

et que pour toute partie A de $\mathbb{N}$ qui vérifie l'inclusion

$\forall$x$\in$A (x$\in$$\mathbb{N}$) on note A' l'ensemble des successeurs stricts des éléments de A

tel que l'exemple {3,4}' = {4,5} est vrai

Est-il correct de définir l'ensemble en compréhension comme ceci ?

{ $\forall$x$\in$$\mathbb{N}$ $\mid$ x'= x+1 }  


J'ai essayé d'être le plus précis possible cette fois

Merci
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Dim 21 Fév - 13:40
Salut Piok Smile

@Piok a écrit:et que pour toute partie A de NN qui vérifie l'inclusion

∀∀x∈∈A (x∈∈NN) on note A' l'ensemble des successeurs stricts des éléments de A

tel que l'exemple {3,4}' = {4,5} est vrai

Il faut absolument que tu m'éclaircisses sur ce que tu veux dire... ce n'est pas clair du tout !
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Dim 21 Fév - 18:04
salut Prof ,

Professeur J a écrit:Salut Piok Smile

@Piok a écrit:et que pour toute partie A de NN qui vérifie l'inclusion

∀∀x∈∈A (x∈∈NN) on note A' l'ensemble des successeurs stricts des éléments de A

tel que l'exemple {3,4}' = {4,5} est vrai

Il faut absolument que tu m'éclaircisses sur ce que tu veux dire... ce n'est pas clair du tout !

je comprends que ce ne soit pas clair...il me semblait avoir écrit plutôt ça (entre autres) :

@piok a écrit:


et que pour toute partie A de $\mathbb{N}$ qui vérifie l'inclusion

$\forall$x$\in$A (x$\in$$\mathbb{N}$) on note A' l'ensemble des successeurs stricts des éléments de A

tel que l'exemple {3,4}' = {4,5} est vrai


 



mais soit, je mets cela de côté un instant pour reprendre point par point ce que j'essaie de comprendre  

I°/ puis-je dire de l'application n$\rightarrow$ n+1 qu'elle détermine le successeur strict de n, le nombre n+1 noté n' ?

II°/ dans l'affirmative, l'application n$\rightarrow$ n' est-elle succession dans $\mathbb{N}$ ?

III°/ si c'est exact, suis-je juste lorsque je le comprends ainsi 0'=1, 2'=3 (ou encore =0''), 3'=4 (ou encore 0''')...100'=101 ?

On me donne alors une proposition qui est celle-ci :

"Deux entiers sont égaux si et seulement si leurs successeurs stricts sont égaux"

là c'est un poil obscur, mais je suppose que cela signifie
2 + 1 = 3 + 1 dans n$\rightarrow$ n' , donc de ce que le couple (2,3) $\Leftrightarrow$ (4,5) dans  n$\rightarrow$ n'

ensuite on me dit :

"Pour toute partie A de $\mathbb{N}$... (et ici je fais une digression pour signifier que cette expression dans un langage ensembliste suppose A $\subset$ $\mathbb{N}$ donc A un sous-ensemble de $\mathbb{N}$) ...on note A' l'ensemble des successeurs stricts des éléments de A, c'est à dire l'image de A par la succession"

Ainsi on note l'ensemble {3,4}' = {4,5} et là je demandais si je pouvais définir l'ensemble en compréhension comme ceci, càd sous cette forme ?  

{ $\forall$x$\in$$\mathbb{N}$ $\mid$ x'= x+1 }

Ouuuuffff !...j'espère avoir été suffisamment clair (étant donné mon pauvre niveau Rolling Eyes ) pour avoir des réponses à mes questions, (au moins les premières)

Merci à toi Wink
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Lun 22 Fév - 10:22
"Deux entiers sont égaux si et seulement si leurs successeurs stricts sont égaux"

Tu te prends la tête pour rien,

Si tu prends n et k, alors n=k si et seulement si n+1=k+1 (successeurs égaux) , fin c'est trivial
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Lun 22 Fév - 12:39
ok ok...cool...on passe à autre chose Cool
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Lun 22 Fév - 17:17
Après ptet que j'ai mal cerné tes interrogations, j'attends qu'un prof passe par là Very Happy
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Re: parties stables de $\mathbb{N}$

le Lun 22 Fév - 17:37
Salut,
PouletAtomique a raison.

Sinon attention, $\{ \forall x \in \mathbb\ |\ x'=x+1\}$ n'a pas de sens, qui est $x'$?
Il n'y a pas plusieurs fonction successeur. Il n'y en a qu'une et c'est exactement celle qui à $x$ donne $x+1=x'$.

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