Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries entières

Bonjour,
Je cherche à résoudre cette équation :

y'' + xy' + y = 1

Je cherche donc une solution développable en série entière de la forme $y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$

j'arrive à la relation de récurrence suivante :
$\forall n  \geq 1 \qquad (n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_n=0$

J'en déduis que $a_{n+2}=\frac{-1}{n+2}a_n$

Après je suis bloqué ... Je sais qu'il faut distinguer les cas pairs et impairs mais je ne vois pas comment faire.

Merci !

Qu'en est-il de tes conditions initiales ?

qu'appelles-tu conditions initiales ? du style y(0) = ... si c'est ça il n'y en a pas

Bah normalement il te faut des conditions initiales pour arriver justement à distinguer chaque cas

Du coup je suis en train de le faire et ta relation de récurrence est fausse car ton équation c'est y'' + xy' + y = 1

et non pas y'' + xy' + y = 0

Donc t'as pas (n+2)(n+1)an+2+(n+1)an=0

tu es sûr ? je n'en ai pas eu besoin dans les précédents, d'habitude je calcule les premiers termes de la relation et je trouve une expression de $a_{2n}$ et $a_{2n+1}$ mais là je ne vois pas ..

Je te mets ce que je trouve :

$a_3 = \frac{-1}{3}a_1$
$a_4 = \frac{-1}{4}a_2$
$a_5  =\frac{-1}{5}a_3 = \frac{1}{9}a_1$
$a_6 = \frac{-1}{6}a_4 = \frac{1}{24}a_2$
$a_7 = \frac{-1}{7}a_5=\frac{-1}{63}a_1$
$a_8 = \frac{-1}{8}a_6=\frac{-1}{192}a_2$

donc je pense que ce sera de cette forme là
$a_{2n}=\frac{(-1)^{n+1}}{....}$


$a_{2n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{...}$

zut pas vu ton message avant de poster ....

j'ai bien $2a_2+a_0 = 1$ pour n < 1 et ma relation de récurrence est vrai pour n >=1 nan ?

Non je ne suis pas d'accord avec toi.

Jvais essayer d'être plus clair et tu me dis si t'es d'accord ou pas.

T'as cette équation à résoudre :

y"+xy'+y=1

Tu sais que y(x) est de la forme $\sum a_n*x^n$

Donc y"vaut $\sum (n+2)(n+1)a_n_+_2*x^n$

et xy' vaut $\sum n*a_n*x^n$


Ok tu regroupes tout dans une même somme et tu as

$\sum truc$ =1

Or si on avait eu à résoudre y"+xy'+y=0

En mettant sous la même somme on aurait bien eu

$(n+2)(n+1)a_n_+_2 + (n+1)*a_n=0$

Mais là c'est =1 donc ta relation de récurrence est fausse je pense


Dis moi ce que tu en penses.

Chez moi le Latex bug un peu, j'espère que mon message est lisible

tu as oublier dû un symbole dollar

Je te met ce que j'ai fait

$y = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \Longrightarrow y'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\Longrightarrow y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}$

On introduit dans l'équation :
$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+x\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=1$

$\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=1$

$2a_2+\sum_{n=1}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n}+a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=1$

$2a_2+a_0+\sum_{n=0}^{\infty}[(n+2)(n+1)a_{n+2}+na_n+a_n]x^n=1$

Par unicité du développement en série entière :
$2a_2+a_0=1$

$(n+2)(n+1)a_{n+2}+na_n+a_n=0$

Je vois pas trop ce qui te permet de dire que 2a2 +a0 =1

C'est l'unicité du développement en série entière

les termes de degré 0 à gauche et à droite sont égaux d'où 2a2 + a0 = 1
les termes de degré 1 à gauche et à droite sont égaux ... 0=0
les termes de degré n à gauche et à droite sont égaux d'où (n+2)(n+1)an+2+n an+an=0

Bah pour obtenir la relation de récurrence c'est facile en fait

Tu fais deux colonnes, à gauche les pairs et à droite les impairs par exemple

Tu as : $a_2=-\frac{1}{2}*a_0$

D'où $a_4=-\frac{1}{4}*a_2$ or $a_2=-\frac{1}{2}*a_0$ d'où $a_4=-\frac{1}{4}*-\frac{1}{2}*a_0$

etc en gardant le $a_0$

Tu obtiens $a_2p$=$\frac{(-1)^{p}}{2^{p}*p!}*a_0$

De la même manière tu obtiens $a_2_p+1$=$\frac{(-1)^{p}*2^{p}*p!}{(2p+1)!}*a_1$

C'est une équation du second ordre donc les solutions sont un espace vectoriel de dimension 2 donc de la forme $\alpha k(x) + \beta z(x)$


Donc pour trouver ta solution particulière tu fixes par exemple $a_1=0$ et $a_0=1$ (faut juste que ta série soit de rayon de convergence non nul)

En faisant ça tu obtiens une série  k(x)=$\sum_{p=0}^{inf} \frac{(-1)^{p}}{2^{p}*p!}*x^{2p}$

et ça c'est exponentielle de truc

Pour trouver ton autre solution , tu fixes cette fois ci $a_0=0$ et $a_1=1$ et t'obtiens une nouvelle série moche que je connais pas qu'on note z(x)


Et donc tu as y(x) = $\alpha k(x) + \beta z(x)$