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Espaces ouverts/fermés dans R^n

le Mer 27 Avr - 12:55
Bonjour,

Je voudrais avoir votre avis sur ma rédaction svp
Dans les deux cas, la question est de dire si les espaces sont ouvert ou fermé.

$A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2<4\}$

Ma réponse :
$A = f^{-1}(]-\infty,4[)$ avec $f(x,y)=x^2+y^2$

Soit $a\in ]-\infty,4[$. Posons $r=4-a$ alors $r>0$.
Soit $v\in B(a,r)$ alors $a-r < v < a+r
\Leftrightarrow v<4 \Leftrightarrow v\in ]-\infty,4[$

Donc : $]-\infty,4[$ est un ouvert.
Ainsi : $A$ est un ouvert comme image réciproque d'un ouvert par une fonction continue


$B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|xy=1\}$

Ma réponse :
Soit $(x_n,y_n)$ une suite d'éléments de $B$
$\forall n\in \mathbb{N} \qquad x_ny_n=1$

en passant à la limite : $xy=1$ donc $(x,y)\in B$

D'où : $B$ est un fermé
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Re: Espaces ouverts/fermés dans R^n

le Mer 27 Avr - 14:14
Salut, ta question concerne la qualité de la rédaction ?

Si tu veux être très précis, il faut d'abord définir ta fonction plutôt que de dire "avec $f$ telle que..." (parce que sinon, quand tu écris $A=f^{-1}(...)$, on ne sait pas qui est $f$ avant d'avoir lu la suite. Petit détail bien sûr ! Donc, écrire quelque chose comme :

"Soit $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ qui à $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ associe $x^2+y^2$. Alors, $A=f^{-1}(...)$."

Sinon, je ne pense pas que tu aies besoin de redémontrer que $]-\infty;4[$ est un ouvert... Tu as remarqué que c'était le disque "ouvert" de centre $(0,0)$ et de rayon $2$ ?
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Re: Espaces ouverts/fermés dans R^n

le Mer 27 Avr - 15:39
ta question concerne la qualité de la rédaction ?
Oui c'est cela, j'ai retrouvé ces exos dans mon cours mais il n'y a pas les justifications, seulement que A est ouvert et que B est fermé.

"Soit f:R2→Rf:R2→R qui à (x,y)∈R2(x,y)∈R2 associe x2+y2x2+y2. Alors, A=f−1(...)A=f−1(...)."

D'accord, je vais le rajouter ...

Tu as remarqué que c'était le disque "ouvert" de centre (0,0) et de rayon 2 ?
ah oui ... effectivement, ça saute aux yeux ^^ j'avais remarqué mais sans tilter sur le fait que disque ouvert = espace ouvert :p


Sinon au niveau de la rédaction ça te semble correcte ? mise à pars l'introduction de la fonction f
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Re: Espaces ouverts/fermés dans R^n

le Mer 27 Avr - 16:00
Dans le même sujet, comment je montre qu'un ensemble est borné ? dans l'optique de savoir s'il est compact ..
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Re: Espaces ouverts/fermés dans R^n

le Mer 27 Avr - 19:09
Je pense que dans la plupart des cas, le plus simple sera de passer par la définition (donc de trouver une boule qui contient ton ensemble).
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