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TD sur les équations différentielles : dark02

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PouletAtomique

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PouletAtomique

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Première équation:

On veut résoudre $x^{2}y''+x(x+1)y'-y=0$


En écrivant tout sous forme de somme et en mettant bien les indices j'ai comme relation de récurrence pour $n\geq 1$ :

$a_n$=$-\frac{1}{n+1}*a_{n-1}$


Et c'est là où je suis plus du tout sûr de moi j'ai

$a_{2p}=\frac{1}{(2p+1)!}*a_0$

et

$a_{2p+1}=\frac{(-1)^{2p+1}}{2^{2p+1}*(2p+1)}*a_0$







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dark02


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Moi je trouve la formule de récurrence suivante
$\{a_0 = 0$
$\{\forall n\geq 2 \quad a_n=\frac{-1}{n+1}a_{n-1}$

Après avoir calculer les premiers termes je remarque que
$\forall n\geq 2 \quad a_n =\frac{2(-1)^{n-1}}{n+1}a_1$



Dernière édition par dark02 le Mer 27 Avr - 19:21, édité 2 fois

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PouletAtomique

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Ouaip déjà j'ai un problème car ma relation de récurrence concerne $a_{n}$ et $a_{n-1}$ et non $a_n$ et $a_{n+2}$

Du coup avec ma relation de récurrence c'est stupide de distinguer les cas pairs et impaires :/

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dark02


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dans ce cas là je pense qu'il n'y a pas besoin de distinguer cas pair/impair ..
faut maintenant que je démontre ma formule par récurrence ...

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@dark02 a écrit:Moi je trouve la formule de récurrence suivante
$\{a_0 = 0$
$\{\forall n\geq 2 \quad a_n\frac{-1}{n+1}a_{n-1}$

Après avoir calculer les premiers termes je remarque que
$\forall n\geq 2 \quad a_n =\frac{2(-1)^{n-1}}{n+1}a_1$


Ah super on a la même relation ! Enfin presque, comment trouves-tu $a_0$ =0 ? On a pas de conditions initiales... Et moi quand je regroupe tout mes termes dans une seule somme, je n'ai pas de $a_0$ qui sort...

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dark02


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1) tu mets tout les termes en $x^n$ en jouant sur les indices
2) tu mets toutes les sommes sur le même indices (n=2) pour pouvoir factoriser

tu as un $a_0$ qui va sortir et deux $a_1x$ qui vont s'annuler

$a_0=0$ car à droite tu as aucun termes de degré 0

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PouletAtomique

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Je ne pense pas que $a_0$ soit nul...

Car on a $a_1=-\frac{1}{2}*a_0$ donc =0 donc $a_2$=0 etc... et donc $\forall n$ , $a_n$=0

Or la série est solution ssi son rayon de convergence est non nul or là avec $a_0=0$, il est nul...



Dernière édition par PouletAtomique le Mer 27 Avr - 19:31, édité 1 fois

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Moi j'ai laissé toutes les sommes à partir de l'indice 1 et donc je n'ai ni $a_0$ qui sort ni $x*a_1$

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Attention ! la relation de récurrence est vrai uniquement pour $n\geq 2$ !

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Ok j'ai capté mon erreur, du coup je trouve pareil que toi (je suppose que t'as bien (n+1)! au dénominateur)

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oui mais le problème c'est que j'arrive pas à démontrer ce que je trouve pas récurrence ^^

Je suppose $a_n=\frac{2(-1)^{n-1}}{(n+1)!}a_1$, je dois montrer que $a_{n+1}=\frac{2(-1)^n}{(n+2)!}a_1$

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bon bin je bloque Sad

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dark02


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pour la suite on aura que

$f(x) = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2(-1)^{n-1}}{(n+1)!}a_1x^n = 2a_1\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}x^n=2a_1(\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{2}x^2 + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}x^n)$

mais je ne reconnais pas cette somme ^^



Dernière édition par dark02 le Jeu 28 Avr - 10:25, édité 1 fois

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PouletAtomique

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Je crois qu'il faut fixer une valeur pour $a_1$ non?

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a_1 est une constante réelle

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PouletAtomique

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Yes mais tu peux la fixer arbitrairement, idéalement à 1, tant que la série obtenue a un rayon de convergence non nul

De cette manière tu obtiens $\sum a_n*x^{n}$  et non $a_1*\sum a_n*x^{n}$

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dark02


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non, la constante est déterminé grâce aux conditions initiales ... ici on en a pas donc on laisse la constante

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PouletAtomique

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T'es sûr ? Justement puisqu'on a pas de conditions initiales on prends ce qu'on veut, regarde la solution que j'avais posté sur ton autre topic... C'est assez flou ce point dans le cours

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dark02


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Dans un exercice que j'avais fait et qui a été corrigé, on a laissé la constante

là le problème c'est que je n'arrive pas à déterminer cette somme sinon après c'est fini Smile

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lol ^^ bonne chance pour démontrer ça :/

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PouletAtomique

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Merci wolfram <3

Je comprends toujours pas pourquoi on laisse la constante alors que dans mon livre de prépa (MP/MP*) ils les fixent arbitrairement pour en déduire les solutions...

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peut être qu'en licence on les laisse et quand prépa on les fixent xD
tu peux pas demander la correction à ton prof ?

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Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Salut, désolé j'ai pas du tout suivi ce que vous faisiez mais j'ai pas compris le problème que la somme vous pose ? Razz

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Salut prof,

on tente de résoudre l'équation différentielle suivante : $x^2y''+x(x+1)y'-y=0$

On a trouvé la relation de récurrence suivante :
$a_0=0$
$\forall n\geq 2 \qquad a_n=\frac{-1}{(n+1)!}a_{n-1}$

En calculant les premiers termes on remarque que $\forall n\geq 2 \quad a_n=\frac{2(-1)^{n-1}}{(n+1)!}a_1$
on bloque sur la démonstration par récurrence

On a donc que
$y = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{(n+1)!}a_1x^n = 2a_1 \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}x^n$
on bloque pour trouver une expression de y

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