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Géométrie affine

le Mar 17 Mai - 12:10
Encore un autre exo de partiel sur lequel je bloque, en géométrie cette fois ...

Soient E et F deux espaces vectoriels, F : E->F une application linéaire
Démontrer qu'il existe une unique application linéaire $g:\mathbb{R}\times E\to F$ tel que pour tout vecteur v de E on ait : $f(v)=g(1,v)$
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Re: Géométrie affine

le Mar 17 Mai - 22:29
Essaye de raisonner par analyse synthèse, tu trouves les caractéristiques de g puis tu en déduis que c'est la seule
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 9:23
Tu as deux choses à montrer : l'existence et l'unicité. As tu réussi l'un des deux ?
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 10:45
Non, je n'ais aucune idée de comment commencer
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 11:00
Je te propose de régler les deux cas en même temps.
Une application linéaire est uniquement définie par les images d'une base.
Donc ici il te suffit de donner les images d'une certaine base, et tu auras à la fois l'existence et l'unicité.

Maintenant on ne va pas prendre n’importe quelle base. Je note $e_1,\ldots,e_n$ une base de $E$. Montres que $(1,e_1),(1,e_2),\ldots,(1,e_n)$ et $(1, \sum_i e_i)$ forme une base de $\mathbb{R} \times E$. Il te suffit donc de trouver ce que vaut $f(1,e_i)$ et $f(1, \sum_i e_i)$ pour conclure.
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 11:09
pffff c'est de l'algèbre ça, pas de la géométrie ^^

alors pour montrer que c'est une base il faut montre que la famille est libre et génératrice. mais ici ..aucune idée de comment le montrer Sad
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 13:44
Petite question intermédiaire : de quelle dimension est l'espace vectoriel $\mathbb{R}\times E$ ?
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 14:49
Réputation du message : 100% (1 vote)
@dark02 a écrit:pffff c'est de l'algèbre ça, pas de la géométrie ^^

alors pour montrer que c'est une base il faut montre que la famille est libre et génératrice. mais ici ..aucune idée de comment le montrer Sad

La géométrie ne se limite pas à "la géométrie" en réalité... 

Wikipedia a écrit:Traditionnellement, la géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne).
Depuis la fin du xviiie siècle, la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projectivegéométrie non euclidienne, par exemple).
Enfin, depuis le début du xxe siècle, certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie,géométrie différentielle, et géométrie algébrique, par exemple.
Si on veut englober toutes ces acceptions, il est difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie. C'est que l'unité des diverses branches de la « géométrie contemporaine » réside plus dans des origines historiques que dans une quelconque communauté de méthodes ou d'objets.


On cite souvent Wikipedia, mais je trouve qu'il s'agit d'une très bonne source, et @Curry aussi il me semble  study
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 15:18
@Professeur J a écrit:Petite question intermédiaire : de quelle dimension est l'espace vectoriel $\mathbb{R}\times E$ ?

heu ....$n$ ?


@Professeur J a écrit:La géométrie ne se limite pas à "la géométrie" en réalité...
$\mathbb{R}\times E$ ?

pfff c'est malin ça ^^ pour moi géométrie = triangle, polygone, angle ...
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 15:35
Tu es sûr que $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ est de dimension $n$ ? No
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 16:13
$n+1$ Very Happy
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 16:20
Oui, la dimension du produit cartésien de deux espaces vectoriels (sur le même corps) est la somme des des dimensions. Maintenant, combien d'éléments contient la famille proposée par @Curry ?
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 16:25
n+1 ?
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 16:30
Oui, donc si tu arrives à montrer que cette famille est libre, tu peux conclure que c'est une base (le cours te dit qu'une famille de $n$ vecteurs libre est une base).
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 16:32
Je pense que tu devrais réussir la suite avec la définition (ou un des définitions équivalentes de ton cours) d'une famille libre Smile
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 16:40
Il faut donc que je montre que $\lambda_1 (1,e_1)+....+\lambda_n(1,e_n)+\lambda_{n+1}(1,\sum e_n)=0$ entraine que tout les $\lambda$ valent 0

pffff, j'aime pas l'algèbre Sad oui oui je sais ... c'est de la géométrie ^^

bon bin moi je veux bien mais je fais comment ? Crying or Very sad
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Re: Géométrie affine

le Mer 18 Mai - 16:43
Il faut que tu "contractes" le membre de gauche de ta dernière égalité. Et n'oublie pas que quand tu écris ça, le $0$ que tu as écrit est $0_{\mathbb{R}\times E}$, c'est-à-dire le vecteur nul de l'ev $\mathbb{R}\times E$.

Je dois te laisser, je reviens plus tard.
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