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étude de fonction


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1 étude de fonction le Ven 26 Aoû - 10:43

sosoi41


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Bonjour j'ai un souci avec cet exercice, pouvez-vous me dire si mes résultats sont corrects, si non me mettre sur la voie svp

On a une fonction g(x)= x² - lnx

1) Déterminer le domaine de définition de g
2) Déterminer le tableau de variation de g (incluant les limites aux bornes) puis le signe de g(x)


Réponses :
1) x² est forcément positif quel que soit le x, et lnx>0 alors le domaine est R+*

2) je dérive, j'ai donc g'(x)=2x - (1/x)= $\frac{2x^{2}-1}{x}$
x>0 alors je cherche le signe du numérateur via 2x²-1>0 et j'obtiens x> $\sqrt{\frac{1}{2}}$

ensuite je le tableau de variation de g'(x):

la valeur 0 est exclue : g'(x)<0 sur ]0;rac(1/2)[ et positif sur le reste (rac1/2 à +inf)

Je connais le signe de g'(x) donc je fais le tableau de variation (décroissant puis croissant) mais là je bloque, comment je calcule les limites aux bornes?

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2 Re: étude de fonction le Ven 26 Aoû - 12:01

Curry

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Professeur de Mathématiques
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Salut,
Ta première réponse est juste, mais la justification est mauvaise. $x^2$ existe pour tout $x \in \mathbb{R}$, tandis que ln$(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Donc le domaine de définition est $\mathbb{R}^*_+$.

Pour les limites aux bornes : en 0 ça ne devrait pas poser de soucis, c'est simplement la limite en 0 de $x^2$ moins la limite de ln($x$) en 0.
En $+\infty$ tu as une limite indéterminée. Tu peux factoriser par $x$, c'est à dire écrire $g(x) = x(x-\frac{\text{ln}(x)}{x})$. Tu devrais mieux t'en sortir avec ça.

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3 Re: étude de fonction le Dim 28 Aoû - 13:26

sosoi41


Posteur Motivé
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malheureusement je n'ai pas fait ce genre de limites auparavant, donc je suis vraiment perdu

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4 Re: étude de fonction le Dim 28 Aoû - 14:06

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Tu es en Terminale ou tu rentres dans le supérieur ?

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5 Re: étude de fonction le Dim 28 Aoû - 14:19

sosoi41


Posteur Motivé
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Je rentre en Terminale

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6 Re: étude de fonction le Dim 28 Aoû - 14:21

sosoi41


Posteur Motivé
Posteur Motivé
voici le second exercice (à part) :

je dois déterminer le sens de variation de la fonction suivante : f(x)= (x²+1+lnx)/x

en dérivant j'obtiens au final (x²-lnx)/x², mon domaine de variation est R+* donc le numérateur est forcément positif et le signe de f'(x) dépend de x²-lnx
Or là je bloque, x²-lnx>0 puis e(x²)>e(lnx)
je sais que e(lnx)=x mais je bloque pour le e(x²)

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7 Re: étude de fonction le Dim 28 Aoû - 14:27

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Tu prends de l'avance alors ? Car les fonctions expo et ln sont introduites en terminale normalement...

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8 Re: étude de fonction le Dim 28 Aoû - 14:30

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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$x^2-ln(x)$ est toujours positif. Tu peux le démontrer en considérant la fonction $g:x\mapsto x^2-ln(x)$ et en faisant son étude.

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9 Re: étude de fonction le Dim 28 Aoû - 14:33

sosoi41


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Oui mon professeur m'a envoyé une liste d'exercices pour m'avancer

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