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Défis tout niveau - 6ème défi


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1 Défis tout niveau - 6ème défi le Sam 27 Aoû - 11:19

Professeur J

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Saurez-vous résoudre ce défi ?

Additionnons les entiers $9$, $99$, $999$, $9999$, ... jusqu'à l'entier composé de $999$ fois le chiffre $9$. Quelle est alors la somme des chiffres du résultat ?

Bonne chance Wink

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2 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Sam 27 Aoû - 19:48

PouletAtomique

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On est d'accord tu demandes pas le résultat mais la somme des chiffres du résultat ?


Mm je vais y réfléchir mais je suis sûr qu'on va trouver un truc avec que des 9 dedans Very Happy

Spoiler:
Déjà on additionne que des multiples de 9 donc le résultat final est divisible par 9 donc la somme de ses chiffres est un multiple de 9, maintenant faut que je réfléchisse pour trouver lequel Very Happy



Dernière édition par PouletAtomique le Sam 27 Aoû - 19:53, édité 1 fois

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3 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Sam 27 Aoû - 19:51

Professeur J

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@PouletAtomique a écrit:On est d'accord tu demandes pas le résultat mais la somme des chiffres du résultat ?


Mm je vais y réfléchir mais je suis sûr qu'on va trouver un truc avec que des 9 dedans Very Happy

Yep exactement, la somme Wink

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4 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Sam 27 Aoû - 20:18

PouletAtomique

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ça m'a l'air pas mal:

9=10-1
99=100-1

etc.

On somme les 999 termes, 9+99+...=(10-1)+(100-1)+....($10^{999}-1$)

Comme à chaque fois on a une puissance de 10 décalée on va avoir 11111111111111111...0 (avec 999 chiffres 1 et le 0 à la fin du au +10 du début) - 999

Soit 111111..0 -1000+1 Donc ça fait 111...10110+1 donc y'a 998 chiffres 1 + 1

Donc la somme vaut 999 ?

Assez marrant comme résultat, ça se généralise à d'autres sommes ou pas ? Ou c'est vraiment un cas particulier marrant ?


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5 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Dim 28 Aoû - 18:25

Lavoisier

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@PouletAtomique a écrit:
ça m'a l'air pas mal:

9=10-1
99=100-1

etc.

On somme les 999 termes, 9+99+...=(10-1)+(100-1)+....($10^{999}-1$)

Comme à chaque fois on a une puissance de 10 décalée on va avoir 11111111111111111...0 (avec 999 chiffres 1 et le 0 à la fin du au +10 du début) - 999

Soit 111111..0 -1000+1 Donc ça fait 111...10110+1 donc y'a 998 chiffres 1 + 1

Donc la somme vaut 999 ?

Assez marrant comme résultat, ça se généralise à d'autres sommes ou pas ? Ou c'est vraiment un cas particulier marrant ?



Je pense que tu fais erreur
Il existe 999 nombres différents qui ne s'écrivent dans le système décimal qu'avec le chiffre 9 de 0 au nombre qui s'écrit en faisait suivre une fois le chiffre 9 de 998 fois le chiffre neuf. Par conséquent la somme des unités du premier ordre de notre nombre est de 999*9 donc 8991 et les le premier chiffre avec les quels on écrit le nombre en question dans notre système de numération donc de droite à gauche est donc 1.

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6 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Lun 29 Aoû - 0:15

PouletAtomique

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@Lavoisier a écrit:
@PouletAtomique a écrit:
ça m'a l'air pas mal:

9=10-1
99=100-1

etc.

On somme les 999 termes, 9+99+...=(10-1)+(100-1)+....($10^{999}-1$)

Comme à chaque fois on a une puissance de 10 décalée on va avoir 11111111111111111...0 (avec 999 chiffres 1 et le 0 à la fin du au +10 du début) - 999

Soit 111111..0 -1000+1 Donc ça fait 111...10110+1 donc y'a 998 chiffres 1 + 1

Donc la somme vaut 999 ?

Assez marrant comme résultat, ça se généralise à d'autres sommes ou pas ? Ou c'est vraiment un cas particulier marrant ?



Je pense que tu fais erreur
Il existe 999 nombres différents qui ne s'écrivent dans le système décimal qu'avec le chiffre 9 de 0 au nombre qui s'écrit en faisait suivre une fois le chiffre 9 de 998 fois le chiffre neuf. Par  conséquent la somme des unités du premier ordre de notre nombre est de 999*9 donc 8991 et les le premier chiffre avec les quels on écrit le nombre en question dans notre système de numération donc de droite  à gauche est donc 1.

Désolé Lavoisier mais j'ai rien bité à ce que tu as dit haha

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7 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Lun 29 Aoû - 8:42

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Pareil, tu peux essayer de reformuler ? Razz

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8 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Lun 29 Aoû - 19:10

Lavoisier

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Posteur Motivé
Désolé, voici ce que j'ai voulu dire, écrit dans un langage moins obscur je l'espère.
Je noterai u(n) la suite définie pour tout entier naturel n 9+9^2+9^3...+9^n.
Nous nous concentrons uniquement sur les unités du premier ordre ( C''est à dire les unités simples ).

Rappelons qu'on appelle : unité du premier une unite simple.
unité du deuxième ordre une dizaine qui vaut dix unités simples.
unité du troisième ordre une centaine qui vaut dix dizaine.
unité du quatrième ordre un mille qui vaut dix centaines.

Source : Encyclopédie autodidactique quillet ( La maison des Encyclopédies, 278 Boulevard Saint-Germain - Paris ( VII ) 1965 ÉDITION PAPIER )

Pour n = 999 nous avons pour chaque terme de la suite 9 comme chiffre représentant le nombre des unités du premier ordre. Si nous utilisions l'opération appelé addition qui permet de trouver la somme de plusieurs nombres et dont nous rappelons les plus importantes propriétés :
La somme de plusieurs nombre est indépendante de l'ordre dans lequel on les ajoute.
La somme de plusieurs nombres ne change pas si on remplace plusieurs de ses termes par leur somme.
L'addition est une opération commutative et associative.
Rappelons également que la somme de plusieurs grandeurs est la grandeur obtenue en les réunissant toutes. Le nombre qui mesure cette nouvelle grandeur étant appelé la somme de ces grandeurs.
Une grandeur étant tout ce qui peut être augmenté ou diminue.

Source identique que plus haut.

Si nous faisons le produit du nombre 999 par le nombre 9  nous mesurons une nouvelle grandeur dont la valeur est 8991 unités du premier ordre. On en tire donc que la valeur numérique de notre suite pour n = 999. S'écrit avec un un pour représenter le nombre d'unités du premier ordre. Pour le chiffre qui représente le nombre d'unités du second ordre on fait 998*9+9 c'est à dire 999*9. Pourquoi ? Le premier terme de la suite est 9 et il n'y a que 998 nombres qui s'écrivent avec au moins de chiffres donc on fait le produit 998*9 auquel on ajoute les 9 unités du second ordre du premier produit !
999*9+998*99 = 8991+8991*10+998*9 ! On obtient alors une nouvelle suite que nous notons z (n) ! Elle exprime le nombre d'unités du premier ordre du nombre qui mesure la grandeur de la suite u (n) et cette suite se calcule pour tout n entier naturel z n = 8991+8991*10n+8991*100n...+8991*(10^999).

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9 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Mar 30 Aoû - 14:41

PouletAtomique

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Ouaip sauf qu'on fait pas le produit mais la somme !

Et pourquoi parles tu de 9^1 9^2 9^3 etc..

999 =/= 9^3

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10 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Mar 30 Aoû - 16:06

Lavoisier

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Posteur Motivé
@PouletAtomique a écrit:Ouaip sauf qu'on fait pas le produit mais la somme !

Et pourquoi parles tu de 9^1 9^2 9^3 etc..

999 =/= 9^3

Un produit étant une somme de plusieurs termes égaux, un produit est une somme.
Et après relecture je ne vois pas où j'ai parléde 9^1 9^2 9^3...

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11 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Mar 30 Aoû - 16:38

PouletAtomique

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Posteur Confirmé
@Lavoisier a écrit:
@PouletAtomique a écrit:Ouaip sauf qu'on fait pas le produit mais la somme !

Et pourquoi parles tu de 9^1 9^2 9^3 etc..

999 =/= 9^3

Un produit étant une somme de plusieurs termes égaux, un produit est une somme.
Et après relecture je ne vois pas où j'ai parléde 9^1 9^2 9^3...

Dans ta deuxième ligne !

Certes mais on fait 9+99+999... et non 9*99*999...

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12 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Mar 30 Aoû - 16:42

Curry

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Lavoisier : quel est le rapport de ta suite $u$ avec le problème ?

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13 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Mer 31 Aoû - 14:13

Lavoisier

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Posteur Motivé
Posteur Motivé
@PouletAtomique a écrit:
@Lavoisier a écrit:
@PouletAtomique a écrit:Ouaip sauf qu'on fait pas le produit mais la somme !

Et pourquoi parles tu de 9^1 9^2 9^3 etc..

999 =/= 9^3

Un produit étant une somme de plusieurs termes égaux, un produit est une somme.
Et après relecture je ne vois pas où j'ai parléde 9^1 9^2 9^3...

Dans ta deuxième ligne !

Effectivement ça m'est passe sous les yeux désolé Sad
Néanmoins dans le raisonnement ça ne compte pas vraiment considére que c'est bien une somme s'il te plaît.

Certes mais on fait 9+99+999... et non 9*99*999...

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14 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Mer 31 Aoû - 14:20

Lavoisier

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Posteur Motivé
@Curry a écrit:Lavoisier : quel est le rapport de ta suite $u$ avec le problème ?

Elle ne sert pas vraiment c'est simplement un rappel du problème la vraie suite qui nous intéresse est plutôt r(n) = 9+9+9+9+9+9.... jusqu'a n fois 9 c'est le nombre d'unités du premier ordre si n = 999 du nombre u(999) = 9+99+999...
Et ce nombre est donc égal à 8991 car il y'a une somme de 999 fois le nombre 9. Le dernier chiffre à droite de la somme u est donc un 1.

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15 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Mer 31 Aoû - 16:32

Curry

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Professeur de Mathématiques
Avec ce que tu as écris dans ton message précédent, $u(999)=9^1 + 9^2 + 9^3 + ... + 9^{999}$ ce qui est différent de $9+99+999+ ....$. C'est ce que te signalais PouletAtomique.

Néanmoins c'est une très bonne idée de chercher le nombre des unités, le nombre des dizaines, etc (en tout cas c'est comme ça que je l'ai résolu).

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16 Re: Défis tout niveau - 6ème défi le Sam 3 Sep - 19:22

Lavoisier

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Posteur Motivé
Posteur Motivé
@Curry a écrit:Avec ce que tu as écris dans ton message précédent, $u(999)=9^1 + 9^2 + 9^3 + ... + 9^{999}$ ce qui est différent de $9+99+999+ ....$. C'est ce que te signalais PouletAtomique.

Néanmoins c'est une très bonne idée de chercher le nombre des unités, le nombre des dizaines, etc (en tout cas c'est comme ça que je l'ai résolu).

Effectivement encore une fois désolé j'aurai du écrire u (n) = 9+9*10+9...+9* 9*10^n+9 mais le reste du raisonnement est valide puisque je l'ai dit ce n'est qu'un rappel sans réel importance.

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