étude de fonction

Bonjour j'ai un souci avec cet exercice, pouvez-vous me dire si mes résultats sont corrects, si non me mettre sur la voie svp

[i]On a une fonction g(x)= x² - lnx

1) Déterminer le domaine de définition de g
2) Déterminer le tableau de variation de g (incluant les limites aux bornes) puis le signe de g(x)[/i]

Réponses :
1) x² est forcément positif quel que soit le x, et lnx>0 alors le domaine est R+*

2) je dérive, j'ai donc g'(x)=2x - (1/x)= $\frac{2x^{2}-1}{x}$
x>0 alors je cherche le signe du numérateur via 2x²-1>0 et j'obtiens x> $\sqrt{\frac{1}{2}}$

ensuite je le tableau de variation de g'(x):

la valeur 0 est exclue : g'(x)<0 sur ]0;rac(1/2)[ et positif sur le reste (rac1/2 à +inf)

Je connais le signe de g'(x) donc je fais le tableau de variation (décroissant puis croissant) mais là je bloque, comment je calcule les limites aux bornes?

Salut,
Ta première réponse est juste, mais la justification est mauvaise. $x^2$ existe pour tout $x \in \mathbb{R}$, tandis que ln$(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Donc le domaine de définition est $\mathbb{R}^*_+$.

Pour les limites aux bornes : en 0 ça ne devrait pas poser de soucis, c'est simplement la limite en 0 de $x^2$ moins la limite de ln($x$) en 0.
En $+\infty$ tu as une limite indéterminée. Tu peux factoriser par $x$, c'est à dire écrire $g(x) = x(x-\frac{\text{ln}(x)}{x})$. Tu devrais mieux t'en sortir avec ça.

malheureusement je n'ai pas fait ce genre de limites auparavant, donc je suis vraiment perdu

Tu es en Terminale ou tu rentres dans le supérieur ?

Je rentre en Terminale

voici le second exercice (à part) :

je dois déterminer le sens de variation de la fonction suivante : f(x)= (x²+1+lnx)/x

en dérivant j'obtiens au final (x²-lnx)/x², mon domaine de variation est R+* donc le numérateur est forcément positif et le signe de f'(x) dépend de x²-lnx
Or là je bloque, x²-lnx>0 puis e(x²)>e(lnx)
je sais que e(lnx)=x mais je bloque pour le e(x²)

Tu prends de l'avance alors ? Car les fonctions expo et ln sont introduites en terminale normalement...

$x^2-ln(x)$ est toujours positif. Tu peux le démontrer en considérant la fonction $g:x\mapsto x^2-ln(x)$ et en faisant son étude.

Oui mon professeur m'a envoyé une liste d'exercices pour m'avancer