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Démonstration primitive x^n


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1 Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 11:38

tydrax35


Posteur Motivé
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Bonjour,

Je n'arrive à trouver une démonstration pour la primitive x^n (n appartient à Q) , je sais qu'il est

possible de dériver (x^n+1)/n+1 pour trouver le résultat mais j'aimerais trouver la primitive de x^n sans connaitre le résultat.

Merci d'avance

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2 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 11:45

Curry

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Professeur de Mathématiques
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Salut,
Tout d'abord, on ne dit pas LA primitive d'une fonction puisque s'il en existe, alors il en existe une infinité, elle n'est donc jamais unique !
Ensuite je ne comprend pas trop ce que tu veux. Tu viens de trouver une primitive à $x^n$, ce n'est pas ce que tu voulais ?
A moins que tu veuilles une méthode générale pour trouver une primitive de n'importe quelle fonction ?

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3 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 11:51

tydrax35


Posteur Motivé
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Salut,

Oui j'ai écris un peu vite, évidemment il en existe une infinité.

En gros je veux la démonstration pour $\int x^n dx= x^{n+1}/n+1 + C$

Donc oui, une méthode générale pour trouver les primitives de n'importe quelle fonction.

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4 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 11:54

Curry

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Professeur de Mathématiques
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Si tu dérives $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ tu tombes bien sur $x^n$, et donc c'est bien une primitive de $x^n$. Cette démonstration suffit non ?

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5 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 11:57

tydrax35


Posteur Motivé
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Oui mais sa c'est trop facile, je l'ai dit plus haut Laughing.

Je veux trouver $\int x^n dx = x^{n+1}/n+1$ sans connaitre le résultat.

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6 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 12:12

Curry

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Professeur de Mathématiques
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Je ne sais pas trop quoi te répondre. Le but des maths n'est pas de se compliquer la tâche (déjà assez dure comme ça!).
Primitiver est généralement très compliqué, on ne peut pas exprimer des primitives de fonctions "simples" à l'aide de nos fonctions usuelles.
Ensuite, tu peux approcher $ \int_0^l x^n dx$, avec $n$ entier, pour tout $l$. Mais c'est lourd et je ne pense pas que tu arrives à trouver une primitive avec cette méthode.

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7 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 12:18

Curry

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Professeur de Mathématiques
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En fait si, on retombe sur nos pattes avec cette méthode. Enfin ce n'est pas rigoureux, mais ça laisse penser que $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ est bien une primitive ... et le seul moyen de vérifier est de dériver pour s'en assurer.

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8 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 12:19

tydrax35


Posteur Motivé
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Je vois ce que tu veux dire, mais tu connais peut être un site où il y a une démonstration complète ? juste par pure curiosité.

Merci de tes réponses en tout cas.

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9 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 12:24

Curry

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Professeur de Mathématiques
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Non je ne connais pas de tels sites. Je peux t'écrire ce que j'ai fait si tu le veux. Mais ce n'est pas une démonstration, juste une suggestion que c'est une primitive.
Mais avant tu es en terminale ? Si oui j'ai bien peur que tes connaissances soient trop limités pour comprendre ce que je vais écrire.

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10 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 12:26

tydrax35


Posteur Motivé
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Oui je veux bien merci.

Nn je suis en fac maths/info niveau L1 ( j'ai oublié de modifier mon profil ).

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11 Re: Démonstration primitive x^n le Mar 30 Aoû - 17:01

Curry

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Professeur de Mathématiques
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Ok, alors peut être que ça va te rappeler quelques cours sur l’intégration (notamment de la fonction inverse). Je vais aussi utiliser les équivalents.

Soit $l$ un réel strictement positif. Alors on a

$$\sum_{i=0}^{k-1} \frac{l}{k}(i\frac{l}{k})^n \leq \int_0^l x^ndx \leq \sum_{i=1}^k \frac{l}{k}(i\frac{l}{k})^n$$

Or $\sum_{i=1}^k \frac{l}{k}(i\frac{l}{k})^n = \sum_{i=1}^k (\frac{l}{k})^{n+1}i^n = (\frac{l}{k})^{n+1} \sum_{i=1}^ki^n = (\frac{l}{k})^{n+1} \frac{1}{n+1} \sum^n_{j=0}(^{n+1}_j)B_jk^{n+1-j}$
Avec les $B_j$ les coefficients de Bernouilli. Tu vois déjà pourquoi c'est lourd.
Ensuite, le but est de raffiner ça en augmentant $k$, plus tu le choisis grand et meilleurs sera l'approximation. Donc en prenant $k$ très grand (en fait on le fait tendre vers $+\infty$), et comme les $B_j$ sont des nombres (peut être très grands, mais ne dépendent pas de $k$), seul le cas $j=0$ va rester dans la somme, le reste va tendre vers 0 quand on va le diviser par $k^{n+1}$. Donc au final tout ça est équivalent, encore une fois pour $k$ très grand, à $$(\frac{l}{k})^{n+1} \frac{1}{n+1}(^{n+1}_0)B_0k^{n+1} = \frac{l^{n+1}}{n+1}$$

On retrouve bien la formule de la primitive voulue.
Maintenant ça ne dépend clairement pas de $l$, pas de soucis à ce niveau là.

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12 Re: Démonstration primitive x^n le Mer 31 Aoû - 10:44

tydrax35


Posteur Motivé
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Merci Curry ! Smile

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