Calcul de de déterminant d'une matrice constitué de Polynomes

Bonsoir ,
Je dois rendre un DM pour vendredi mais un exercice me pose un problème , je galère dessus alors que j'imagine que ca doit pas être si tordu que ca , j'ai une matrice carré de dimension (n+1) par (n+1) et elle est constituée de la manière suivante :
( P(x) P(x+1) .............. P(x+n) )
( P(x+1) P(x+2) ...........P(x+n+1) )
( . .
( . .
( . .
(P(x+n) .........................P(x+2n) )

Et il faut calculer son déterminant , sachant que P appartient à Rn-1[X] , j'essaye de me ramener a une matrice triangulaire mais je galère ... J'avais pensé dans un premier temps utilisé la formule de Taylor pour les polynomes mais sans succès .... par la suite j'ai tenté d'écrire le polynome P comme produit des (X-xk) et (X-(xk-1)) pour P(X+1) etc ... mais la encore ca m'avance pas des masses ... Une personne m'a dit que P(X) , P(X+1) etc étaient liés et donc qu'il existe un n uplet tel que P(X)+a1P(x+1) + ..... =0 m'assurant qu'il n'y avait pas besoin de connaitre a1 etc ... Mais ce qui me perturbe c'est que dans le determinant final ces coefficients vont apparaitres de toutes facon alors que je ne les connais pas ....
Bref je suis bloqué :p
Merci d'avance

Salut,
En effet c'est la bonne indication que t'a donnée ton pote.
$P$ est un polynôme de degré au plus $n-1$, de même pour le polynôme $P_1\ :\ x \mapsto P(x+1)$, de même pour le polynôme $P_2\ : \ x \mapsto P(x+2)$, etc ...
Comme $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ est de dimension $n$, tu sais que la famille $\{P,P_1,P_2, ...,P_n\}$ est liée. Donc il existe $a_i \in \mathbb{R}$ tels que $a_0 P + a_1 P_1 + ... + a_n P_n = 0$.
Maintenant vois tu pourquoi ces $a_i$ fonctionnent aussi pour la famille suivante, ie $a_0 P_1 + a_1 P_2 + ... + a_n P_{n+1} = 0$ ? Et de même $a_0 P_k + a_1 P_{k+1} + ... + a_n P_{k+n}$ ?

Une fois que tu auras compris ça, le calcul du déterminant sera presque immédiat.

Haaaaaa , merci beaucoup , et au final les coefficients restent les même par ce que de l'égalité a l'autre on fait l’équivalent d'un changement de variable X = X'+1 du coup les coefficients ne bougent pas ... Merci beaucoup

Ok.
Avec ça as tu réussi à calculer le déterminant ?

Je suis en train de le faire mais du coup j'aurais une colonne de 0 donc le determinant est nul non ?

Oui