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INDIQUER SI UNE FAMILLE D’ENSEMBLE PARTITIONNE E


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dllkevin


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Bonjour ,
j'ai un problème pour résoudre les exercices sur les familles d'ensembles .

Énonce
Indiquez si la famille d'ensemble partitionne E dans les cas suivants :
1)A$ _{n}$ = {n,n+2} et E = $\mathbb{N}$ ,
2)A$ _{n}$ = [2n,2n+1[ et E = R*+
3)A$ _{n}$ = {2n,2n+1} et E =  $\mathbb{N}$

Merci d'avance pour votre aide



Dernière édition par dllkevin le Sam 17 Sep - 13:43, édité 3 fois

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Est-ce que tu connais la définition d'une partition de $E$ ?

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On dit que la famille  partitionne E ou définie une partition
de E si, et seulement si, les 3 conditions suivantes sont satisfaites .
Pour le 1)

-$\forall $ n appartenant à $\mathbb{N}$ , A$_{n}$  $\neq  $  ensemble non vide
-$\forall $ m , p appartenant à $\mathbb{N}$ , A$_{m} $ ={m,m+2}
A$_{p} $ ={p,p+2}

si m=1  alors A$_{1} $ ={2,3} et si p=2 A$_{2} $ ={2,4}
donc A$_{m}$  $ \bigcap $  A$_{p}$ =  ensemble non vide

donc A$_{n}$ ne partitionne pas E c'est bien ça ?
j'ai fais la résolution en me servant des conditions .

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Oui, c'est cette condition qui n'est pas vérifiée.

$A_1=\{1;3\}$
$A_3=\{3;5\}$

Et $A_1 \cap A_3=\{3\}$ qui est différent de l'ensemble vide.

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Tu as trouvé le $2)$ ?

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@Professeur J a écrit:Tu as trouvé le $2)$ ?
pas encore, j'ai ajouté un 3) tu peux regarder aussi s'il te plait



Dernière édition par dllkevin le Sam 17 Sep - 13:44, édité 2 fois

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Pour le $2)$, arrives-tu à montrer que :
$$\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n=\mathbb{R}^*_{+}\mbox{ ?}$$

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@Professeur J a écrit:Pour le $2)$, arrives-tu à montrer que :
$$\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n=\mathbb{R}^*_{+}\mbox{ ?}$$

non non , c'est aussi la mon gros soucis

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Regarde les nombres décimaux, par exemple $0,5$.

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pour le 3)A$_{n} = {2n,2n+1}$ et E =N
3)
- la première condition est vérifié
- la deuxième
Soit m et p des entiers tels que m < p. Alors
m + 1  p donc  2m + 2  2p donc 2m + 1 < 2p donc 2m < 2m +1 < 2p < 2p + 1
je bloque ici

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@Professeur J a écrit:Regarde les nombres décimaux, par exemple $0,5$.
oui ça prouve qu'une condition n'est pas verifié donc 2) ne partitionne pas E.

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mon gros soucis c'est de montrer quelque soit deux elements dans l'ensemble la famille partitionne E pour le 1 était simple il suffisait de montrer une contradiction mais dans le cas ou d=on doit le demontrer pour quelques soit les nombres comme le 3) je bloque

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Le fait que les $A_n$ sont deux à deux disjoints, c'est compris ?

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Oui ça j'ai compris. Mais dans le cas 1) Et 2) C'était avec des situations particulières mais je veux connaître comment le démontrer pour quelque soit les éléments qu'on prend dans un ensemble et montrer qu'ils sont deux à deux disjoints le cas du 3)

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C'est assez "évident" mais si tu veux je peux te donner des pistes pour le démontrer formellement :

Soient $m,n\in\mathbb{N}$ tels que $m\neq n$.

Donc $A_m=\{2m,2m+1\}$ et $A_n=\{2n,2n+1\}$.

$2m$ est différent de $2n$ car $2m-2n=2(m-n)\neq 0$ car $m\neq n$. $2m$ est différent de $2n+1$ car si $2m-2n-1=0$, alors $2(m-n)-1=0$ et donc $m-n=\frac{1}{2}$ ce qui est absurde. ETC.

C'est très lourd à écrire (comme je le disais c'est assez évident que si $m$ et $n$ sont différents, $2m$ et $2n$ sont différents (par exemple).

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Merci pour les réponses

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Avec plaisir ; si tu as d'autres questions, n'hésite pas.

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Mais je ne m'attendais pas à une démonstration par absurde. Pourrait on continuer sur ma piste ?
3)
- la première condition est vérifié
- la deuxième
Soit m et p des entiers tels que m < p. Alors
m + 1 p donc 2m + 2 2p donc 2m + 1 < 2p donc 2m < 2m +1 < 2p < 2p + 1

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@dllkevin a écrit:Mais je ne m'attendais pas à une démonstration  par absurde.  Pourrait on continuer sur ma piste ?
3)
- la première condition est vérifié
- la deuxième
Soit m et p des entiers tels que m < p. Alors
m + 1  p donc  2m + 2  2p donc 2m + 1 < 2p donc 2m < 2m +1 < 2p < 2p + 1

Ta rédaction n'est pas claire (que montres-tu ?) et il manque des symboles... tu peux ré-écrire ça, s'il te plait ?

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dllkevin


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@Professeur J a écrit:
@dllkevin a écrit:Mais je ne m'attendais pas à une démonstration  par absurde.  Pourrait on continuer sur ma piste ?
3)
- la première condition est vérifié
- la deuxième
Soit m et p des entiers tels que m < p. Alors
m + 1  p donc  2m + 2  2p donc 2m + 1 < 2p donc 2m < 2m +1 < 2p < 2p + 1

Ta rédaction n'est pas claire (que montres-tu ?) et il manque des symboles... tu peux ré-écrire ça, s'il te plait ?
j'ai voulu me servir de la parité des nombres c'est possible ?

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dllkevin


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@Professeur J a écrit:
@dllkevin a écrit:Mais je ne m'attendais pas à une démonstration  par absurde.  Pourrait on continuer sur ma piste ?
3)
- la première condition est vérifié
- la deuxième
Soit m et p des entiers tels que m < p. Alors
m + 1  p donc  2m + 2  2p donc 2m + 1 < 2p donc 2m < 2m +1 < 2p < 2p + 1

Ta rédaction n'est pas claire (que montres-tu ?) et il manque des symboles... tu peux ré-écrire ça, s'il te plait ?

On cherche à partitionner $\mathbb{N}$ avec les ensembles de la forme An={2n, 2n+1} où n appartient à $\mathbb{N}$.


Soit m et p des entiers tels que m < p. Alors
m + 1 $\leq $  p donc  2m + 2 $\leq $  2p donc 2m + 1 < 2p donc 2m < 2m +1 < 2p < 2p + 1
conclusion $A_{m}\bigcap A_{p}$ = ensemble vide

j'ai vu sa en fouillant un peu mais je n'ai pas compris cette demonstration.

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Curry

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Salut,
En effet ce que tu as écris prouve bien $A_m \cap A_n = \emptyset$.

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