Suites et limites TS

Bonjour j'aurai vraiment besoin d'aide pour un exercice svp .
On a :

Soit (Un) n > 0 , u0 = 0 et Un+1 = racine carré de 4 Un + 5

1) Calculer u1 , u2 , u3 .
2) Conjecture sur la monotonie
3) Démontrer la conjecture
4 ) Montrer que Un < 5 , pour tout n appartenant à N
5) Conclure

Merci beaucoup

Bonsoir Chloé,

As-tu essayé quelque chose sur les premières questions ?

Oui j'ai essayé de calculer les premiers termes ....
On a U0 = 0
U1 = racine de 4 racine de 5
U2 = racine de 4 et racine de 5+5
U3 = Racine de 4 , racine de 4 et racine de 5 + 5

D'après les premiers termes il semblerait que la suite est croissante

Pour pouvoir t'aider, il faudrait que tu me confirmes que $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5}$ (car c'est difficile à lire comment tu l'as écrit)

Oui c'est ça , désolé je ne sais pas écrire les racines sur l'ordinateur

[quote:399c="Professeur J"]Pour pouvoir t'aider, il faudrait que tu me confirmes que $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5}$ (car c'est difficile à lire comment tu l'as écrit)[/quote]

Dans ce cas,
$u_1=\sqrt{4u_0+5}=\sqrt{4\times 0+5}=\sqrt{5}$
$u_2=\sqrt{4\sqrt{5}+5}$
$u_3=\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{5}+5}+5}$

Je t'invite à lire ce sujet : [url=http://forum.mathsendirect.fr/t49-comment-inserer-des-formules-mathematiques-dans-vos-messages]http://forum.mathsendirect.fr/t49-comment-inserer-des-formules-mathematiques-dans-vos-messages[/url] pour apprendre à écrire des formules sur le forum

Merci c'est gentil .
Pour la question 2 on peut donc dire , d'après le calcul des premiers termes il semblerait que la suite est croissante ?
Mais pour la question 3 je suis bloquée j'ai du mal avec les récurrences ...

Oui, exact pour la question 2. Et très bonne idée pour la récurrence. As-tu démarré ton raisonnement ?

Non je n'arrive pas à faire la récurrence

Il faut que tu reprennes ton cours sur la récurrence : ton prof a dû te donner des "étapes" à faire : initialisation, récurrence, conclusion...

Oui , je sais que dans l'initialisation il faut montrer que Pn est vrai ...
On pose P (n) : Un < Un+1 ?

Oui ! Par contre, l'initialisation serait plutôt de montrer que $P(0)$ est vraie, c'est-à-dire montrer que $u_0\leq u_1$.

Alors on dit u0 < u1 , 0 < racine 5 donc P(0) est vraie ?
Mais il faut d'abord poser P(n) non ?

Oui tu peux "poser" $P(n)$ (je t'encourage à aller voir le "modèle" de ton prof pour voir comment formuler).

Pour l'initialisation, tu dois montrer que $u_0\leq u_1$. Et tu sais que $u_0 = 0$ et que $u_1=\sqrt{5}$ (question 1). Comme $0\leq\sqrt{5}$, tu en déduis que $u_0\leq u_1$.

D'accord merci ... je bloque à chaque fois sur l'hérédité

Hérédité : Supposons que P(n) est vraie , montrons que P(n+1) est vraie
c'est-à-dire montrons que Un+1< Un+2

Oui, c'est ce que tu veux montrer. Tu peux partir de ton hypothèse de récurrence, à savoir $u_n\leq u_{n+1}$.

Indice : $u_{n+2}=\sqrt{4u_{n+1}+5}$ par définition de la suite.

Du coup on dit que : Un < Un + 1
montrons que Un+1 < Un+2
4 Un < 4 Un + 1
Racine de 4 Un + 5 < racine 4 Un + 1 + 5

c'est ça svp ? je n'arrive pas à finir l'hérédité

Oui c'est correct, il faut juste justifier en disant que la fonction racine carrée est croissante

Ah c'est tout , je dis juste que la racine carré est croissante et l'hérédité est fini ?

et je ne sais pas non plus comment je peux montrer que un < 5 ? je suis désolée de vous déranger avec toutes mes questions

Re-bonjour,

Tu peux également le montrer par récurrence Tu as essayé ?

Bonjour j'ai abandonné et je n'ai pas réussi mon interrogation. .. en tout cas merci beaucoup pour votre aide je vais poster un nouveau sujet je ne sais pas si vous pourrez m'aider. .. merci d'avance

Bonjour,
Si tu le souhaites, on peut travailler ensemble ton évaluation pour ne pas prendre de retard pour la suite.