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Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 18:40
Bonjour j'aurai vraiment besoin d'aide pour un exercice svp .
On a :

Soit (Un) n > 0 , u0 = 0 et Un+1 = racine carré de 4 Un + 5

1) Calculer u1 , u2 , u3 .
2) Conjecture sur la monotonie
3) Démontrer la conjecture
4 ) Montrer que Un < 5 , pour tout n appartenant à N
5) Conclure

Merci beaucoup
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 18:42
Bonsoir Chloé,

As-tu essayé quelque chose sur les premières questions ?
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 18:47
Oui j'ai essayé de calculer les premiers termes ....
On a U0 = 0
U1 = racine de 4 racine de 5
U2 = racine de 4 et racine de 5+5
U3 = Racine de 4 , racine de 4 et racine de 5 + 5

D'après les premiers termes il semblerait que la suite est croissante
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 18:50
Pour pouvoir t'aider, il faudrait que tu me confirmes que $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5}$ (car c'est difficile à lire comment tu l'as écrit)
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 18:51
Oui c'est ça , désolé je ne sais pas écrire les racines sur l'ordinateur
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 18:55
Professeur J a écrit:Pour pouvoir t'aider, il faudrait que tu me confirmes que $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5}$ (car c'est difficile à lire comment tu l'as écrit)

Dans ce cas,
$u_1=\sqrt{4u_0+5}=\sqrt{4\times 0+5}=\sqrt{5}$
$u_2=\sqrt{4\sqrt{5}+5}$
$u_3=\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{5}+5}+5}$
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 18:56
Je t'invite à lire ce sujet : http://forum.mathsendirect.fr/t49-comment-inserer-des-formules-mathematiques-dans-vos-messages pour apprendre à écrire des formules sur le forum Wink
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:00
Merci c'est gentil .
Pour la question 2 on peut donc dire , d'après le calcul des premiers termes il semblerait que la suite est croissante ?
Mais pour la question 3 je suis bloquée j'ai du mal avec les récurrences ...
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:05
Oui, exact pour la question 2. Et très bonne idée pour la récurrence. As-tu démarré ton raisonnement ?
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:10
Non je n'arrive pas à faire la récurrence
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:11
Il faut que tu reprennes ton cours sur la récurrence : ton prof a dû te donner des "étapes" à faire : initialisation, récurrence, conclusion...
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:15
Oui , je sais que dans l'initialisation il faut montrer que Pn est vrai ...
On pose P (n) : Un < Un+1 ?
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:17
Oui ! Par contre, l'initialisation serait plutôt de montrer que $P(0)$ est vraie, c'est-à-dire montrer que $u_0\leq u_1$.
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:21
Alors on dit u0 < u1 , 0 < racine 5 donc P(0) est vraie ?
Mais il faut d'abord poser P(n) non ?
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:23
Oui tu peux "poser" $P(n)$ (je t'encourage à aller voir le "modèle" de ton prof pour voir comment formuler).

Pour l'initialisation, tu dois montrer que $u_0\leq u_1$. Et tu sais que $u_0 = 0$ et que $u_1=\sqrt{5}$ (question 1). Comme $0\leq\sqrt{5}$, tu en déduis que $u_0\leq u_1$.
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:28
D'accord merci ... je bloque à chaque fois sur l'hérédité pale

Hérédité : Supposons que P(n) est vraie , montrons que P(n+1) est vraie
c'est-à-dire montrons que Un+1< Un+2
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:31
Oui, c'est ce que tu veux montrer. Tu peux partir de ton hypothèse de récurrence, à savoir $u_n\leq u_{n+1}$.

Indice : $u_{n+2}=\sqrt{4u_{n+1}+5}$ par définition de la suite.
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 19:51
Du coup on dit que : Un < Un + 1
montrons que Un+1 < Un+2
4 Un < 4 Un + 1
Racine de 4 Un + 5 < racine 4 Un + 1 + 5
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 20:11
c'est ça svp ? je n'arrive pas à finir l'hérédité
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 20:42
Oui c'est correct, il faut juste justifier en disant que la fonction racine carrée est croissante
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 20:45
Ah c'est tout , je dis juste que la racine carré est croissante et l'hérédité est fini ?
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Re: Suites et limites TS

le Dim 1 Oct - 20:58
et je ne sais pas non plus comment je peux montrer que un < 5 ? je suis désolée de vous déranger avec toutes mes questions
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Re: Suites et limites TS

le Lun 2 Oct - 12:53
Re-bonjour,

Tu peux également le montrer par récurrence Smile Tu as essayé ?
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Re: Suites et limites TS

le Mar 3 Oct - 16:34
Bonjour j'ai abandonné et je n'ai pas réussi mon interrogation. .. en tout cas merci beaucoup pour votre aide je vais poster un nouveau sujet je ne sais pas si vous pourrez m'aider. .. merci d'avance
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Re: Suites et limites TS

le Mer 4 Oct - 13:07
Bonjour,
Si tu le souhaites, on peut travailler ensemble ton évaluation pour ne pas prendre de retard pour la suite.
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