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Algèbre linéaire

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1 Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 15:18

s4ph1r


Posteur Motivé
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Bonjours

J'aurai une question concernant l'algèbre linéaire.

Soit une application linéaire de R³ dans R³ définie par
ƒ(x,y,z)=(4y-4z-x,3y-2z,-x+y)

Je dois montrer que dimKer(ƒ)=1 et trouver un générateur w₁ de ker(ƒ)

Ma question est la suivante peut on trouver la dimension de ker sans passer par le théorème du rang de plus quand il me demande un générateur w1, est que c'est un élément de R³ qui quand on l'injecte dans ƒ nous donne 0 ?

Merci d avance pour vos réponses.

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2 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 16:08

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Salut S4ph1r Smile
Est-ce que tu sais ce qu'est la définition du noyau de ton application ?

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3 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 16:12

s4ph1r


Posteur Motivé
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Yes

Soit x un élément dans R3 tel que f(x)=0

En gros tous les éléments dans R3 qui donne 0 par l'application f

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4 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 16:16

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Oui, et tu peux continuer à écrire la suite :

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5 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 16:29

s4ph1r


Posteur Motivé
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Soit (e₁,e₂,e₃) la base canonique de R³

ƒ(x,y,z)=0 <=> A×(x,y,z)

Avec "A" la matrice de ƒ dans la base (e₁,e₂,e₃)

Et cela me permet de trouver l'équation du noyau.

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6 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 16:39

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Que veut dire f(x,y,z)=0 ? Smile

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7 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 16:42

s4ph1r


Posteur Motivé
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Qu'un élément (x,y,z)∊R³ par l'application f donne 0

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8 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 16:45

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Oui et plus précisément (en utilisant la "formule" de ta fonction) ?

PS : pour écrire des formules mathématiques, tu peux regarder le topic épinglé Smile

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9 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 19:05

s4ph1r


Posteur Motivé
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4y-4z-x=0
3y-2z=0
-x+y=0

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10 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 19:35

s4ph1r


Posteur Motivé
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En échelonnant j'ai le système suivant

-x+4y -4z=0
+3y +2z=0
+6z=0

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11 Re: Algèbre linéaire le Sam 25 Avr - 20:17

s4ph1r


Posteur Motivé
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Normalement je devrais avoir 2 lignes de 0 lors du pivot de gauss.
Or là j'en ai aucunes cela veut dire que les 3 vecteurs f(e1) f(e2) et f(e3) sont linéairement indépendant et donc le rang de f = 3 et dim im(f)=3 aussi

Or nous sommes en degré 3 donc dimKer(f)=0
Mais on me demande de montrer que dimKer(f)=1

Je ne comprends pas.
Shocked

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12 Re: Algèbre linéaire le Dim 26 Avr - 15:09

Professeur F

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Professeur de Mathématiques
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Bonjour, dis moi ce que signifie pour toi : La dimension du noyau vaut 1.

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13 Re: Algèbre linéaire le Dim 26 Avr - 16:51

s4ph1r


Posteur Motivé
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C'est bon j'ai trouvé le résultat il y a eu une erreur au niveau de l'énoncé.

L'application est f(x,y,z)=(4y-4z,-x+3y-2z,-x+y)

j'ai trouvé mon vecteur qui engendré mon noyau de dimension 1
j'ai aussi trouvé l'équation de l'image.

Mais là j'ai une question on me demande de trouver un vecteur non nul w2 tel que f(w2)=w2

Merci d'avance Very Happy

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14 Re: Algèbre linéaire le Dim 26 Avr - 17:12

Professeur F

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Professeur de Mathématiques
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Petit conseil, si je te dis ça te dit rien ?

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15 Re: Algèbre linéaire le Dim 26 Avr - 21:00

s4ph1r


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Donc si j'ai bien compris

ƒ(w₂)-w₂=0 <=>

(A×w₂)-w₂=0 <=> avec A la matrice de l'application ƒ dans la base canonique.

w²(A-Id)=0 <=> avec Id la matrice identité dans R³

Et maintenant je ne vois pas trop comment continuer

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16 Re: Algèbre linéaire le Dim 26 Avr - 21:55

Professeur F

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Professeur de Mathématiques
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Trouver tous les vecteurs tels que revient à décrire un ensemble connu.
Je te cache la réponse, essaie de la trouver tout seul.

Réponse :

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17 Re: Algèbre linéaire le Dim 26 Avr - 22:05

s4ph1r


Posteur Motivé
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Je ne vois pas en quoi Ker(A-Id)=w₂

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18 Re: Algèbre linéaire le Lun 27 Avr - 1:03

Professeur F

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Professeur de Mathématiques
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Lorsque je te demande de chercher les x tels que f(x)=0, que me réponds-tu ? Tu me réponds que tu cherche à déterminer le noyau de f, c'est à dire à trouver Ker(f) [ou Ker(A)].
Hé bien là, c'est pareil, tu cherches les x tels que f(x)-x=0, donc tu déterminer le noyau de f-Id, c'est à dire Ker(A-Id).
Compris ?

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19 Re: Algèbre linéaire le Lun 27 Avr - 9:38

s4ph1r


Posteur Motivé
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Yes sa marche merci Very Happy

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20 Re: Algèbre linéaire le Sam 16 Mai - 0:30

s4ph1r


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Bonsoir

J'aimerai quelques précisions concernant l'algèbre linéaire.

Tout d'abord en quoi si le rang d'une matrice est égale à la dimension de l'espace d'arrivé, cela nous donne que l'application associé à la matrice est surjective.

De plus j'aimerai avoir une explication pour calculer une puissance n d'une matrice à l'aide du binôme de newton.

Merci d'avance Very Happy

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21 Re: Algèbre linéaire le Sam 16 Mai - 13:33

Professeur F

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Bonjour ,
C'est quoi pour toi le rang de la matrice associée à l'application ? Son lien avec l'espace d'arrivée ?
Et la définition de la surjectivité d'une application ?

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22 Re: Algèbre linéaire le Sam 16 Mai - 13:39

s4ph1r


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Le rang d'une matrice représente le nombre de pivot après avoir échelonné cette même matrice.
Pour moi une application est dîtes surjective si elle admet au moins 1 antécédent.

Après le liens avec l'espace d'arrivé c'est ma question Very Happy

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23 Re: Algèbre linéaire le Sam 16 Mai - 13:45

Professeur F

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Professeur de Mathématiques
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Le rang d'une matrice par rapport à son application c'est quoi en fait ?
Et une application est dite surjective si chaque élément de l'espace d'arrivée admet au moins un antécédent.

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24 Re: Algèbre linéaire le Sam 16 Mai - 13:50

s4ph1r


Posteur Motivé
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C'est la dimension de l'image de cette application

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25 Re: Algèbre linéaire le Sam 16 Mai - 13:53

Professeur F

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Professeur de Mathématiques
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Donc on récapitule, Si la dimension de Im(f) est égale à Dim(F) (où F est l'espace d'arrivée de ton application f) alors f est surjective.
Est-ce que tu vois mieux les choses comme ça ?

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