Exercices de pré-rentrée MPSI sur les sommes

Bonjour, j'ai un pdf d'exos à faire pour la rentrée et il me reste trois exercices pour lequel j'ai des difficultés :

1) http://www.noelshack.com/2015-35-1440844078-exo38.jpg
Pour celui-ci, j'ai réussi à démontrer le résultat en utilisant la formule juste au-dessus, mais j'avoue ne pas trop avoir compris ce que j'ai fait

Il me semble que Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/n
et que H2n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/(2n)
donc Hn - H2n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(2n)) = - 1/(n+1) - 1/(n+2) - ... - 1/(2n)   (sauf erreur de ma part)

Ce qui ne me semble pas égal à -1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - ... + 1/(2n), qui est (sauf erreur là encore)  l'allure de la somme qui est censée être égale à Hn - H2n
Du coup je comprends pas d'où sort l'égalité ? Je suppose que j'ai mal interprété l'une des sommes...

2) http://www.noelshack.com/2015-35-1440844082-exo41.jpg
Je comprends la première ligne de calcul (application de l'identité du binôme de newton)
Mais à partir de la deuxième ligne je ne suis plus, d'où sort le m parmi 2m par exemple ?

3) http://www.noelshack.com/2015-35-1440844084-exo45.jpg

J'ai aussi du mal à démontrer le résultat de l'exercice 45, On peut remarquer que 2^(n-1) = 2^n / 2
donc cela revient à démontrer cette égalité (cf exercice 44) : <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\sum_{0\leq&space;2k\leq&space;n}&space;\left&space;\binom{n}{2k}&space;=&space;\sum_{0\leq&space;2k+1\leq&space;n}&space;\left&space;\binom{n}{2k+1}&space;=&space;\frac{1}{2}\sum_{0\leq&space;k\leq&space;n}&space;\left&space;\binom{n}{k}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{0\leq&space;2k\leq&space;n}&space;\left&space;\binom{n}{2k}&space;=&space;\sum_{0\leq&space;2k+1\leq&space;n}&space;\left&space;\binom{n}{2k+1}&space;=&space;\frac{1}{2}\sum_{0\leq&space;k\leq&space;n}&space;\left&space;\binom{n}{k}" title="\sum_{0\leq 2k\leq n} \left \binom{n}{2k} = \sum_{0\leq 2k+1\leq n} \left \binom{n}{2k+1} = \frac{1}{2}\sum_{0\leq k\leq n} \left \binom{n}{k}" /></a>

Mais là encore je vois pas comment la démontrer...


Merci d'avance

Salut Skywear

Pour ton exo 1, est-ce que si je t'écris ça comme ça, tu arrives à "mieux visualiser" ?

$$\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}\frac{1}{k}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots$$

Que l'on écrit :

$$\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}\frac{1}{k}=-1-\frac{1}{2}+2*\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+2*\frac{1}{4}+\cdots$$

Puis en effectuant les calculs :

$$\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}\frac{1}{k}=-1-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\cdots$$

Puis en réarrangeant :

$$\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}\frac{1}{k}=-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\dots+1+\frac{1}{2}+\cdots$$

Et donc :

$$\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}\frac{1}{k}=-H_{2n}+H_{n}$$

EDIT : ça doit très bien marcher avec une récurrence aussi

On verra la suite après

Salut !

J'ai compris le calcul après un petit moment, merci !
Malgré cela l'égalité ne me paraît pas vraiment intuitive (mais en essayant avec un n donné et en voyant que l'égalité marche ça me rassure un peu)

Salut! Bon déjà je suis seulement en deuxième année de prepa math (je la redouble actuellement en fait) donc mes remarques sont a prendre avec des pincettes

L'égalité ne te semble pas intuitive car inconsciemment pour toi a+b+c=d+e+f => a=d, b=e et c=f ce qui est bien évidement pas le cas! Il faut faire attention aux apparences

Sinon si tu as ce type d’exercice en DS surtout, tu ne doit pas te poser de question:RECURANCE. C'est facile, rapide et ça marche (presque) à tout les coups. Cependant c'est vrai que pour des DM (un peut comme ici) c'est bien d'essayer de comprendre d'où l'inégalité sort .

BOn sinon je vais essayer de faire tes deux autres exos (en guise d'entrainement pour moi aussi ) j'essayerai de t'expliquer ce que j'ai fais dans la soirée si j'ai réussi.

Salut
oui c'est probablement pour ça que l'égalité me paraît sortir de nulle part, et je me suis embrouillé avec les inverses aussi (je me disais sans réfléchir que 1/(n+1) > 1/n ... du coup l'égalité me semblait forcément impossible )
J'y penserais pour la récurrence !
merci en tout cas

Est-ce que c'est clair pour le premier exo du coup ? 

Oui merci

Ok, je te contacte demain pour la suite... ^^

D'accord a demain, j'espère avoir le temps de répondre (je ne serais plus disponible à partir de 16h)

Hello, je suis au réveil avec un café avant la rentrée mais je vais essayer de te répondre maintenant 

Pour ton exercice 2, tu demandais d'où venait le \(\binom{2m}{m}\), et bien regarde combien vaut le \(m\)-ème terme de la somme

m parmi 2m je crois, du coup je crois comprendre la correction un peu mieux

Je m'y remettrai plus sérieusement ce soir

Merci

Ok à ce soir