- JustSayin'Posteur Débutant
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Montrer que la n-ième racine de 2 est irrationnelle (n>2)
Dim 23 Aoû - 15:11
Petit exercice pour ceux qui veulent faire un peu de maths avant la rentrée :
Pouvez que 2[sup]1/n[/sup] (c'est à dire la racine n-ième de 2) est irrationnel pour tout n > 2.
Indice : vous pouvez utiliser une bombe atomique pour tuer cette mouche.
Pouvez que 2[sup]1/n[/sup] (c'est à dire la racine n-ième de 2) est irrationnel pour tout n > 2.
Indice : vous pouvez utiliser une bombe atomique pour tuer cette mouche.
Re: Montrer que la n-ième racine de 2 est irrationnelle (n>2)
Dim 23 Aoû - 15:40
Merci de proposer vos réponses sous forme de spoiler
Re: Montrer que la n-ième racine de 2 est irrationnelle (n>2)
Dim 30 Aoû - 13:20
Bon eh bien, je propose une réponse sous forme de spoiler (en m'autorisant bien sûr d'utiliser la bombe atomique ) :
[spoiler]
Raisonnons par l'absurde en supposant que \(2^{\frac{1}{n}}\) soit rationnel. Alors on peut écrire :
$$2^{\frac{1}{n}}=\frac{p}{q},$$
où \(\frac{p}{q}\) est une fraction irréductible. On a alors :
$$2=\frac{p^n}{q^n}$$
Donc :
$$p^n=2q^n=q^n+q^n,$$
ce qui est absurde d'après le grand théorème de Fermat !
Donc, \(2^{\frac{1}{n}}\) est irrationnel (pour tout \(n>2\) ).
[/spoiler]
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Raisonnons par l'absurde en supposant que \(2^{\frac{1}{n}}\) soit rationnel. Alors on peut écrire :
$$2^{\frac{1}{n}}=\frac{p}{q},$$
où \(\frac{p}{q}\) est une fraction irréductible. On a alors :
$$2=\frac{p^n}{q^n}$$
Donc :
$$p^n=2q^n=q^n+q^n,$$
ce qui est absurde d'après le grand théorème de Fermat !
Donc, \(2^{\frac{1}{n}}\) est irrationnel (pour tout \(n>2\) ).
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- PouletAtomiquePosteur Confirmé
- Messages : 361
Re: Montrer que la n-ième racine de 2 est irrationnelle (n>2)
Sam 5 Sep - 22:38
Pas sûr mais bon :
[spoiler] On suppose par l'absurde que ta racine nième est rationnelle , on dispose donc de p et q premiers entre eux tq (2)^1/n =p/q c'est à dire 2=(p/q)^n et donc p^n=2q^n , pas possible car p et q sont premiers entre eux donc q^n et p^n le sont aussi d'où la contradiction...[/spoiler]
[spoiler] On suppose par l'absurde que ta racine nième est rationnelle , on dispose donc de p et q premiers entre eux tq (2)^1/n =p/q c'est à dire 2=(p/q)^n et donc p^n=2q^n , pas possible car p et q sont premiers entre eux donc q^n et p^n le sont aussi d'où la contradiction...[/spoiler]
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