TD sur les équations différentielles : dark02

[spoiler:18e1="Première équation"]
On veut résoudre $x^{2}y''+x(x+1)y'-y=0$


En écrivant tout sous forme de somme et en mettant bien les indices j'ai comme relation de récurrence pour $n\geq 1$ :

$a_n$=$-\frac{1}{n+1}*a_{n-1}$


Et c'est là où je suis plus du tout sûr de moi j'ai

$a_{2p}=\frac{1}{(2p+1)!}*a_0$

et

$a_{2p+1}=\frac{(-1)^{2p+1}}{2^{2p+1}*(2p+1)}*a_0$







[/spoiler]

Moi je trouve la formule de récurrence suivante
$\{a_0 = 0$
$\{\forall n\geq 2 \quad a_n=\frac{-1}{n+1}a_{n-1}$

Après avoir calculer les premiers termes je remarque que
$\forall n\geq 2 \quad a_n =\frac{2(-1)^{n-1}}{n+1}a_1$

Ouaip déjà j'ai un problème car ma relation de récurrence concerne $a_{n}$ et $a_{n-1}$ et non $a_n$ et $a_{n+2}$

Du coup avec ma relation de récurrence c'est stupide de distinguer les cas pairs et impaires :/

dans ce cas là je pense qu'il n'y a pas besoin de distinguer cas pair/impair ..
faut maintenant que je démontre ma formule par récurrence ...

[quote:2081="dark02"]Moi je trouve la formule de récurrence suivante
$\{a_0 = 0$
$\{\forall n\geq 2 \quad a_n\frac{-1}{n+1}a_{n-1}$

Après avoir calculer les premiers termes je remarque que
$\forall n\geq 2 \quad a_n =\frac{2(-1)^{n-1}}{n+1}a_1$[/quote]


Ah super on a la même relation ! Enfin presque, comment trouves-tu $a_0$ =0 ? On a pas de conditions initiales... Et moi quand je regroupe tout mes termes dans une seule somme, je n'ai pas de $a_0$ qui sort...

1) tu mets tout les termes en $x^n$ en jouant sur les indices
2) tu mets toutes les sommes sur le même indices (n=2) pour pouvoir factoriser

tu as un $a_0$ qui va sortir et deux $a_1x$ qui vont s'annuler

$a_0=0$ car à droite tu as aucun termes de degré 0

Je ne pense pas que $a_0$ soit nul...

Car on a $a_1=-\frac{1}{2}*a_0$ donc =0 donc $a_2$=0 etc... et donc $\forall n$ , $a_n$=0

Or la série est solution ssi son rayon de convergence est non nul or là avec $a_0=0$, il est nul...

Moi j'ai laissé toutes les sommes à partir de l'indice 1 et donc je n'ai ni $a_0$ qui sort ni $x*a_1$

Attention ! la relation de récurrence est vrai uniquement pour $n\geq 2$ !

Ok j'ai capté mon erreur, du coup je trouve pareil que toi (je suppose que t'as bien (n+1)! au dénominateur)

oui mais le problème c'est que j'arrive pas à démontrer ce que je trouve pas récurrence ^^

Je suppose $a_n=\frac{2(-1)^{n-1}}{(n+1)!}a_1$, je dois montrer que $a_{n+1}=\frac{2(-1)^n}{(n+2)!}a_1$

bon bin je bloque

pour la suite on aura que

$f(x) = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2(-1)^{n-1}}{(n+1)!}a_1x^n = 2a_1\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}x^n=2a_1(\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{2}x^2 + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}x^n)$

mais je ne reconnais pas cette somme ^^

Je crois qu'il faut fixer une valeur pour $a_1$ non?

a_1 est une constante réelle

Yes mais tu peux la fixer arbitrairement, idéalement à 1, tant que la série obtenue a un rayon de convergence non nul

De cette manière tu obtiens $\sum a_n*x^{n}$  et non $a_1*\sum a_n*x^{n}$

non, la constante est déterminé grâce aux conditions initiales ... ici on en a pas donc on laisse la constante

T'es sûr ? Justement puisqu'on a pas de conditions initiales on prends ce qu'on veut, regarde la solution que j'avais posté sur ton autre topic... C'est assez flou ce point dans le cours

Dans un exercice que j'avais fait et qui a été corrigé, on a laissé la constante

là le problème c'est que je n'arrive pas à déterminer cette somme sinon après c'est fini

lol ^^ bonne chance pour démontrer ça :/

[img]https://2img.net/image.noelshack.com/fichiers/2016/17/1461832454-capture.png[/img]

Merci wolfram <3

Je comprends toujours pas pourquoi on laisse la constante alors que dans mon livre de prépa (MP/MP*) ils les fixent arbitrairement pour en déduire les solutions...

peut être qu'en licence on les laisse et quand prépa on les fixent xD
tu peux pas demander la correction à ton prof ?

Salut, désolé j'ai pas du tout suivi ce que vous faisiez mais j'ai pas compris le problème que la somme vous pose ?

Salut prof,

on tente de résoudre l'équation différentielle suivante : $x^2y''+x(x+1)y'-y=0$

On a trouvé la relation de récurrence suivante :
$a_0=0$
$\forall n\geq 2 \qquad a_n=\frac{-1}{(n+1)!}a_{n-1}$

En calculant les premiers termes on remarque que $\forall n\geq 2 \quad a_n=\frac{2(-1)^{n-1}}{(n+1)!}a_1$
[b]on bloque sur la démonstration par récurrence
[/b]
On a donc que
$y = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{(n+1)!}a_1x^n = 2a_1 \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}x^n$
[b]on bloque pour trouver une expression de y[/b]