Primitive introuvable

Bonsoir !

Je suis en train de m'entrainer vu que j'ai un partiel de maths dans 3 jours :s
Alors voilà, je bloque à un petit exo que voici :
[url=https://servimg.com/view/17767947/30][img]https://i.servimg.com/u/f86/17/76/79/47/screen10.png[/img][/url]

J'ai essayé par intégration par partie, mais ça devient trop compliqué donc je doute que ce soit la bonne méthode, et je ne reconnais pas de primitive "évidente" à vu d'oeil :/

Des pistes ? Merci

Vu la gueule de l'intégrale c'est 100% du log + du arctan

Voilà ce qu'il faut faire :

Tu as $\int \frac{1+x}{x^2+4}$ = $\int \frac{1}{x^2+4} + \int \frac{x}{x^2+4}$


La dérivée de $x^2+4 = 2x$

Donc tu réécris ton truc comme étant $\int \frac{1}{x^2+4} +\frac{1}{2}* \int \frac{2*x}{x^2+4}$

La dérivée de $arctan(u)=\frac{1}{1+u^2}$

Donc tu peux encore réécrire ton truc comme étant $\frac{1}{4}*\int \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1} +\frac{1}{2}* \int \frac{2*x}{x^2+4}$

Du coup tu poses $X= \frac{x}{2}$ d'où $dX=\frac{1}{2}*dx$ d'où $dx=2*dX$


D'où ta primitive est $\frac{1}{2}*arctan(\frac{x}{2})+\frac{1}{2}*ln(x^2+4)$

J'ai pas compris pourquoi tu as multiplié par 1/4, enfin jveux dire, ça devrait pas donner (x/2)²+1 au dénominateur non ?

On veut du x²+1 au dénominateur et moi j'ai du x²+4 donc tu factorises par 4

D'accord, mais dans ce cas là c'est pas la même chose pour le 1/2 à droite ?

J'ai multiplié par 2 en haut pour faire apparaître la dérivée donc je dois bien diviser par 2 (* 1/2)

Oui mais le dénominateur ne change pas en 2*(x²/2 + 2) ?

$x= 2x*\frac{1}{2}$

Ah mais oui tu as juste décomposé x, désolé je suis fatigué

Oui, pour faire apparaître la dérivée

Car $\int \frac{u'}{u}=ln(u)$