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Professeur T

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Yoshi
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Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 17:54
Bonjour
Je viens de faire une équation différentielle, mais je trouve un résultat différent de celui donné par le corrigé (et de wolfram alpha, j'ai vérifié on sait jamais ^^)



Voici comment je procède :

y' = -3y + ex                     donc a = -3 et b = ex
A partir de là, j'utilise la formule y = keax - b/a

On a donc : y = ke-3x - (ex)/(-3)
y = ke-3x + ex/3

Sauf que le corrigé indique ex/4 et ça je ne comprends pas pourquoi Sad
khyxes
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 19:31
Je crois que ta formule ne marche que pour a et b des constante réelles.

$\Delta$ Je n'ai pas fait d'équa diff depuis un moment donc je ne suis pas du tout sur à 100% de ce que je dis.

Mais dans ton cas je crois que tu dois d'abord résoudre le système homogène puis trouver une solution particulière, avec cette méthode je retrouver bien  $ke^{-3x}+e^x/4$

@Professeur J @PouletAtomique pourront surement confirmer/infirmer ce que je viens de dire  Very Happy
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 21:13
J'ai essayé avec ta méthode, mais comme solution homogène je trouve y = ey * e-x^3

Et je n'arrive pas à déterminer une solution particulière avec ça
khyxes
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 21:19
La solution de l'equation homogene est la solution de l'équation 

y'+3y=0

Tu ne devrais pas avoir de x dedans.
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 21:22
Pourquoi on retire le e^x à droite ?
khyxes
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 21:29
Une équation homogène est une équation dont le second membre est nul.
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 21:42
J'ai finalement trouvé une solution particulière ! Après avoir remplacé y' et y dans l'équation par p' et p, je trouve p'+3p=0.
Comment continuer après ? :c
khyxes
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 21:46
Tu as résolu cette équation ?
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 21:53
Oui, j'ai trouvé y'/y=-3, puis j'ai intégré de chaque côté.
Ensuite j'ai multiplié chaque côté par exponentielle pour faire disparaître le ln à gauche, et j'obtiens y = e^-3x et y'=-3e^-3x.
y'+3y me donne donc un résultat qui s'annule
khyxes
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 21:57
y = e^-3x est la solution de l'équation homogène.


Maintenant tu dois trouver la solution particulière.


Tu a vus ça en cours ?
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 22:14
Oui j'ai vu ça, mais ça fait longtemps et je m'en rappelle plus du tout
Maintenant je suis en train de confondre toutes les méthodes, je m'y perds :/
khyxes
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 22:25
Je viens de voir que tu as fait une petite erreur

$\frac{y'}{y}=-3$
$ln(y)= -3x+c$
$y=e^{-3x+c}=K*e^{-3x}$
Tu as oublié la constante

On cherche maintenant la solution particulière.

Tu l'obtient en résolvant l'équation initial (avec second membre) en remplaçant y par la solution de l'équation homogène que tu viens de trouver, et en considerant k comme k(x) une fonction a determiner.
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 22:31
y'+3y = (K*e^-3x)' + 3(K*e^-3x) = e^x, c'est bien ça ?

Donc K*(-3e^-3x) + 3K*e^-3x = 0 <=> e^x=0 ?
khyxes
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 22:39
Dans cette partie on considere k=k(x) une fonction.
$(K(x)*e^{-3x})' + 3(K(x)*e^{-3x}) = e^x$
$k(x)'*e^{-3x}-3k(x)e^{-3x}+ 3(K(x)*e^{-3x}) = e^x$


Tu dois determiné k(x)



Je te laisse continuer
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 22:56
Dooooonc, si j'ai bien compris, il faut isoler k(x).
Ok, essayons :d
J'imagine qu'il faut tout diviser par e^-3x, ce qui donne : k(x)' -3k(x) + 3k(x) = e^x/e^-3x
<=> k(x)' = (e^x)*(e^3x) = e^4x

donc une primitive est k(x) = (e^4x)/4

Ai-je bon ? :s

khyxes
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 23:03
Réputation du message : 100% (1 vote)
Oui 

On a vu plut tôt que

$y=k(x)*e^{-3x}$
$y=\frac{e^{4x}}{4}$$*e^{-3x}$
$y=\frac{1}{4}e^{x}$

C'est ta solution particuliere

La solution de l'équation différentiel est la somme de la solution homogène et de la solution particulière


On a donc
$ y=\frac{1}{4}e^{x}+k*e^{-3x}$
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Mer 4 Mai - 23:58
Ah mais oui, tout colle !
Merci beaucoup !! Smile
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Jeu 5 Mai - 14:02
Re-bonjour !
Demain c'est le partiel, donc il me reste uniquement aujourd'hui pour vous embêter une dernière fois Smile

Voici une autre équation :


J'ai donc procédé de la même manière :

y'-x²y=0
y' = x²y
on en déduit rapidement que y = ke

Donc si on remplace dans l'équation de départ ce y, on obtient :
y'-x²y = (ke)' - x²(ke)

= k'e + k*2xe - x²ke

Et à mon grand regret, aucun terme ne s'annule :/
J'ai pensé à transformer e en e2x et ainsi obtenir 2 termes qui s'annulent ? (je sais pas si mathématiquement c'est toléré, je pense que oui)

EDIT : ok j'ai trouvé l'erreur, j'ai oublié un x pour le y=ke, je suis censé avoir du x^3


Dernière édition par Yoshi le Jeu 5 Mai - 14:06, édité 1 fois (Raison : Erreur de calcul)
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Re: Equation différentielle

le Jeu 5 Mai - 20:42
Tu as trouvé ?

Les solutions de l'équation différentielle $A(x)y'+B(x)y=0$ sont les $f(x)=Ce^{\int \frac{B(x)}{A(x)}}$ avec $C$ une constante réelle.
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Jeu 5 Mai - 22:06
J'ai trouvé y = kex/3^3 + kex^3, mais sur le corrigé, il n'y a pas kex^3, c'est bien la somme de la solution homogène et de la solution particulière non ?
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Re: Equation différentielle

le Jeu 5 Mai - 22:09
Est-ce que tu as lu ce que je t'ai dit ?  Basketball

Ici, il n'y a pas de second membre, c'était déjà "l'équation homogène" Smile
Yoshi
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Re: Equation différentielle

le Jeu 5 Mai - 22:43
C'est exactement ce que je me suis dit haha
Bon, espérons que je rate pas trop le partiel demain Very Happy
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