Equation différentielle

Bonjour
Je viens de faire une équation différentielle, mais je trouve un résultat différent de celui donné par le corrigé (et de wolfram alpha, j'ai vérifié on sait jamais ^^)

[url=https://servimg.com/view/17767947/31][img]https://i.servimg.com/u/f86/17/76/79/47/screen11.png[/img][/url]

Voici comment je procède :

y' = -3y + e[sup]x[/sup]                     donc a = -3 et b = e[sup]x[/sup]
A partir de là, j'utilise la formule y = ke[sup]ax[/sup] - b/a

On a donc : y = ke[sup]-3x[/sup] - (e[sup]x[/sup])/(-3)
y = ke[sup]-3x[/sup] + e[sup]x[/sup]/3

Sauf que le corrigé indique e[sup]x[/sup]/4 et ça je ne comprends pas pourquoi

Je crois que ta formule ne marche que pour a et b des constante réelles.

$\Delta$ [b][i]Je n'ai pas fait d'équa diff depuis un moment donc je ne suis pas du tout sur à 100% de ce que je dis.[/i][/b]

Mais dans ton cas je crois que tu dois d'abord résoudre le système homogène puis trouver une solution particulière, avec cette méthode je retrouver bien  $ke^{-3x}+e^x/4$

@Professeur J @PouletAtomique pourront surement confirmer/infirmer ce que je viens de dire 

J'ai essayé avec ta méthode, mais comme solution homogène je trouve y = e[sup]y[/sup] * e[sup]-x^3[/sup]

Et je n'arrive pas à déterminer une solution particulière avec ça

La solution de l'equation homogene est la solution de l'équation 

y'+3y=0

Tu ne devrais pas avoir de x dedans.

Pourquoi on retire le e^x à droite ?

Une équation homogène est une équation dont le second membre est nul.

J'ai finalement trouvé une solution particulière ! Après avoir remplacé y' et y dans l'équation par p' et p, je trouve p'+3p=0.
Comment continuer après ? :c

Tu as résolu cette équation ?

Oui, j'ai trouvé y'/y=-3, puis j'ai intégré de chaque côté.
Ensuite j'ai multiplié chaque côté par exponentielle pour faire disparaître le ln à gauche, et j'obtiens y = e^-3x et y'=-3e^-3x.
y'+3y me donne donc un résultat qui s'annule

[color:9383=#333333][size=11]y = e^-3x est la solution de l'équation homogène.[/size][/color]


[color:9383=#333333][size=11]Maintenant tu dois trouver la solution particulière.[/size][/color]


[size=11]Tu a vus ça en cours ?[/size]

Oui j'ai vu ça, mais ça fait longtemps et je m'en rappelle plus du tout
Maintenant je suis en train de confondre toutes les méthodes, je m'y perds :/

Je viens de voir que tu as fait une petite erreur

$\frac{y'}{y}=-3$
$ln(y)= -3x+c$
$y=e^{-3x+c}=K*e^{-3x}$
Tu as oublié la constante

On cherche maintenant la solution particulière.

Tu l'obtient en résolvant l'équation initial (avec second membre) en remplaçant y par la solution de l'équation homogène que tu viens de trouver, et en considerant k comme k(x) une fonction a determiner.

y'+3y = (K*e^-3x)' + 3(K*e^-3x) = e^x, c'est bien ça ?

Donc K*(-3e^-3x) + 3K*e^-3x = 0 <=> e^x=0 ?

Dans cette partie on considere k=k(x) une fonction.
[size=11]$(K(x)*e^{-3x})' + 3(K(x)*e^{-3x}) = e^x$[/size]
[size=11]$k(x)'*e^{-3x}-3k(x)e^{-3x}+ 3(K(x)*e^{-3x}) = e^x$[/size]


Tu dois determiné k(x)



[size=11]Je te laisse continuer[/size]

Dooooonc, si j'ai bien compris, il faut isoler k(x).
Ok, essayons :d
J'imagine qu'il faut tout diviser par e^-3x, ce qui donne : k(x)' -3k(x) + 3k(x) = e^x/e^-3x
<=> k(x)' = (e^x)*(e^3x) = e^4x

donc une primitive est k(x) = (e^4x)/4

Ai-je bon ? :s

Oui 

On a vu plut tôt que

$y=k(x)*e^{-3x}$
$y=\frac{e^{4x}}{4}$$*e^{-3x}$
$y=\frac{1}{4}e^{x}$

C'est ta solution particuliere

La solution de l'équation différentiel est la somme de la solution homogène et de la solution particulière


On a donc
$ y=\frac{1}{4}e^{x}+k*e^{-3x}$

Ah mais oui, tout colle !
Merci beaucoup !!

Re-bonjour !
Demain c'est le partiel, donc il me reste uniquement aujourd'hui pour vous embêter une dernière fois

Voici une autre équation :
[url=https://servimg.com/view/17767947/32][img]https://i.servimg.com/u/f86/17/76/79/47/screen12.png[/img][/url]

J'ai donc procédé de la même manière :

y'-x²y=0
y' = x²y
on en déduit rapidement que y = ke[sup]x²[/sup]

Donc si on remplace dans l'équation de départ ce y, on obtient :
y'-x²y = (ke[sup]x²[/sup])' - x²(ke[sup]x²[/sup])

= k'e[sup]x²[/sup] + k*2xe[sup]x²[/sup] - x²ke[sup]x²[/sup]

Et à mon grand regret, aucun terme ne s'annule :/
J'ai pensé à transformer e[sup]x²[/sup] en e[sup]2x[/sup] et ainsi obtenir 2 termes qui s'annulent ? (je sais pas si mathématiquement c'est toléré, je pense que oui)

EDIT : ok j'ai trouvé l'erreur, j'ai oublié un x pour le y=ke[sup]x²[/sup], je suis censé avoir du x^3

Tu as trouvé ?

Les solutions de l'équation différentielle $A(x)y'+B(x)y=0$ sont les $f(x)=Ce^{\int \frac{B(x)}{A(x)}}$ avec $C$ une constante réelle.

J'ai trouvé y = ke[sup]x/3^3[/sup] + ke[sup]x^3[/sup], mais sur le corrigé, il n'y a pas ke[sup]x^3[/sup], c'est bien la somme de la solution homogène et de la solution particulière non ?

Est-ce que tu as lu ce que je t'ai dit ? 

Ici, il n'y a pas de second membre, c'était déjà "l'équation homogène"

C'est exactement ce que je me suis dit haha
Bon, espérons que je rate pas trop le partiel demain