Géométrie affine

Encore un autre exo de partiel sur lequel je bloque, en géométrie cette fois ...

Soient E et F deux espaces vectoriels, F : E->F une application linéaire
Démontrer qu'il existe une unique application linéaire $g:\mathbb{R}\times E\to F$ tel que pour tout vecteur v de E on ait : $f(v)=g(1,v)$

Essaye de raisonner par analyse synthèse, tu trouves les caractéristiques de g puis tu en déduis que c'est la seule

Tu as deux choses à montrer : l'existence et l'unicité. As tu réussi l'un des deux ?

Non, je n'ais aucune idée de comment commencer

Je te propose de régler les deux cas en même temps.
Une application linéaire est uniquement définie par les images d'une base.
Donc ici il te suffit de donner les images d'une certaine base, et tu auras à la fois l'existence et l'unicité.

Maintenant on ne va pas prendre n’importe quelle base. Je note $e_1,\ldots,e_n$ une base de $E$. Montres que $(1,e_1),(1,e_2),\ldots,(1,e_n)$ et $(1, \sum_i e_i)$ forme une base de $\mathbb{R} \times E$. Il te suffit donc de trouver ce que vaut $f(1,e_i)$ et $f(1, \sum_i e_i)$ pour conclure.

pffff c'est de l'algèbre ça, pas de la géométrie ^^

alors pour montrer que c'est une base il faut montre que la famille est libre et génératrice. mais ici ..aucune idée de comment le montrer

Petite question intermédiaire : de quelle dimension est l'espace vectoriel $\mathbb{R}\times E$ ?

[quote:bd47="dark02"]pffff c'est de l'algèbre ça, pas de la géométrie ^^

alors pour montrer que c'est une base il faut montre que la famille est libre et génératrice. mais ici ..aucune idée de comment le montrer [/quote]

La géométrie ne se limite pas à "la géométrie" en réalité... 

[quote:bd47="Wikipedia"][size=14]Traditionnellement, la [b]géométrie[/b] est la partie des [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques]mathématiques[/url] qui étudie les [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Figure_g%C3%A9om%C3%A9trique]figures[/url] du [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_(math%C3%A9matiques)]plan[/url] et de l'[url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_(math%C3%A9matiques)]espace[/url] ([url=https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne]géométrie euclidienne[/url]).[/size]
[size=14]Depuis la fin du xviii[sup]e[/sup] siècle, la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces ([url=https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_projective]géométrie projective[/url], [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_non_euclidienne]géométrie non euclidienne[/url], par exemple).[/size]
[size=14]Enfin, depuis le début du xx[sup]e[/sup] siècle, certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie]topologie[/url],[url=https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle]géométrie différentielle[/url], et [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique]géométrie algébrique[/url], par exemple.[/size]
[size=14]Si on veut englober toutes ces acceptions, il est difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie. C'est que l'unité des diverses branches de la « géométrie contemporaine » réside plus dans des origines historiques que dans une quelconque communauté de méthodes ou d'objets.[/size][/quote]


On cite souvent Wikipedia, mais je trouve qu'il s'agit d'une très bonne source, et @Curry aussi il me semble 

[quote:f95c="Professeur J"]Petite question intermédiaire : de quelle dimension est l'espace vectoriel $\mathbb{R}\times E$ ?[/quote]

heu ....$n$ ?


[quote:f95c="Professeur J"]La géométrie ne se limite pas à "la géométrie" en réalité...
$\mathbb{R}\times E$ ?[/quote]

pfff c'est malin ça ^^ pour moi géométrie = triangle, polygone, angle ...

Tu es sûr que $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ est de dimension $n$ ?

$n+1$

Oui, la dimension du produit cartésien de deux espaces vectoriels (sur le même corps) est la somme des des dimensions. Maintenant, combien d'éléments contient la famille proposée par @Curry ?

n+1 ?

Oui, donc si tu arrives à montrer que cette famille est libre, tu peux conclure que c'est une base (le cours te dit qu'une famille de $n$ vecteurs libre est une base).

Je pense que tu devrais réussir la suite avec la définition (ou un des définitions équivalentes de ton cours) d'une famille libre

Il faut donc que je montre que $\lambda_1 (1,e_1)+....+\lambda_n(1,e_n)+\lambda_{n+1}(1,\sum e_n)=0$ entraine que tout les $\lambda$ valent 0

pffff, j'aime pas l'algèbre oui oui je sais ... c'est de la géométrie ^^

bon bin moi je veux bien mais je fais comment ?

Il faut que tu "contractes" le membre de gauche de ta dernière égalité. Et n'oublie pas que quand tu écris ça, le $0$ que tu as écrit est $0_{\mathbb{R}\times E}$, c'est-à-dire le vecteur nul de l'ev $\mathbb{R}\times E$.

Je dois te laisser, je reviens plus tard.