[DEFIS bac +1/+2] 2ème défi hebdomadaire !!

Voilà j'ai deux petits exos sympas, je posterais la correction des précédents quand je retrouverais une correction jolie


[u]Défi 1 $\rightarrow$ Une limite: [/u]


Trouver la limite pour $n \rightarrow  \infty$ de :

$\frac{1}{\sqrt{n}}*[\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}+......\frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+2}}]$


[u]Défi 2 $\rightarrow$ Une (autre) limite : [/u]

https://2img.net/image.noelshack.com/fichiers/2016/19/1462897132-capture.png


Le deuxième est dur à justifier proprement donc bon osef un peu, si vous avez le résultat c'est déjà bien !

Bonne chance

Salut,
Je n'ai fait que rapidement la première, je ne mets pas la démonstration, j'attends de voir si quelqu'un d'autre trouve
[spoiler]Ca converge vers $\frac{\sqrt2}{2}$[/spoiler]

Bien joué Curry

T'as une idée pour le deuxième ?

Salut,
Me revoilà, alors en me servant de quelques résultats connus sur les séries (connus au sens où ce sont des calculs classiques qu'on fait en TD) j'arrive à
[spoiler] $\frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2}$ pour le défi 2[/spoiler]
Je n'ai pas vérifié le résultat mais ça me parait bien.

Yes bien joué Curry. La démonstration rigoureuse est chiante car il faut justifier la continuité etc mais bon.

C'est un oral X 2007 :p

Ma démonstration tient en 4 lignes à tout casser. Pas besoin de continuité je travaille uniquement avec les sommes, que je découpe en deux morceaux.
Si ça t’intéresse je peux te l'écrire.

[quote:fde0="Curry"]Ma démonstration tient en 4 lignes à tout casser. Pas besoin de continuité je travaille uniquement avec les sommes, que je découpe en deux morceaux.
Si ça t’intéresse je peux te l'écrire. [/quote]

Tiens voici la solution proposée à l'exercice, si t'as mieux postes c'est intéressant de comparer :p

[spoiler:fde0="Solution bien rédigée"]http://jellevy.yellis.net/Classes/Spe/Series/Exercices/aide_exo9_oraux_polytechnique.htm[/spoiler]

Ok. J'ai la même, sauf que je ne montre pas que $\sum^{+ \infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{i} = - \ln 2$ et que $\sum^{+\infty}_{i=1} \frac{(-1)^{i+1}}{2i-1} = \frac{\pi}{4}$.
C'est ce que j'appelais des "résultats classiques".

D'accord, super alors. Bien joué