PGCD démonstration

Salut Ay31

Si tu prépares le CRPE, le principe de récurrence n'est pas au programme. Tu veux montrer que pour tout entier naturel $n$, $7$ et $n^2+1$ sont premiers entre eux, donc que leur PGCD vaut $1$. Or, $7$ est un nombre premier donc il n'est divisible que par $7$ et par $1$. Il suffit donc que tu montres que pour tout $n$, $n^2+1$ n'est pas divisible par $7$. Ainsi, le seul diviseur commun de $7$ et $n^2+1$ sera $1$, et tu pourras conclure qu'ils sont premiers entre eux. Voilà une première étape de raisonnement

Par contre, je ne sais pas où tu as trouvé cet exo, mais il me paraît vraiment compliqué par rapport à ce qui est demandé au CRPE.

Tu as réussi la suite du raisonnement ?

Oui c'est pour ça qu'on disait que c'était un peu compliqué

En fait, tu dois regarder tous les restes possibles de $n$ par la division euclidienne par $7$, soit : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$ puis montrer que pour chaque cas, $n^2+1$ n'a pas $0$ comme reste et donc qu'il n'est pas divisible par $7$ (comme ça, tu auras étudié tous les cas possibles).

Je te fais le premier cas : si $n$ a pour reste $0$ par la DE (division euclidienne) par $7$, alors $n^2$ a pour reste $0$. Donc $n^2+1$ a pour reste $1$ par la DE par $7$. Donc $n^2+1$ n'est pas divisible par $7$.

Je sais pas si tu m'as suivi (si oui, tu peux faire les autres cas), mais c'est assez haut niveau pour le CRPE, je répète !

Exactement, et il suffit que tu t'arrêtes à $6$

Avec plaisir