- AzertybobPosteur Motivé
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Raisonnement par l'absurde
Sam 27 Aoû - 20:41
Bonsoir
J'aurais besoin d'aide pour quelques exos sur le raisonnement par l'absurde.
1) Soient $a$, $b$, $c$, et $d$ des nombres rationnels tels que:
$a+b*\sqrt(2)\ = c+d*\sqrt(2)$
Montrer que: $a=c$ et $b=d$
2) Montrer que $\sqrt(3)$ est irrationnel. Généraliser.
3) Montrer que $\frac{ln3}{ln2}$ est irrationnel.
J'aurais besoin d'aide pour quelques exos sur le raisonnement par l'absurde.
1) Soient $a$, $b$, $c$, et $d$ des nombres rationnels tels que:
$a+b*\sqrt(2)\ = c+d*\sqrt(2)$
Montrer que: $a=c$ et $b=d$
2) Montrer que $\sqrt(3)$ est irrationnel. Généraliser.
3) Montrer que $\frac{ln3}{ln2}$ est irrationnel.
Re: Raisonnement par l'absurde
Sam 27 Aoû - 20:45
Salut, est-ce que tu as commencé à faire quelque chose pour la première question ? Tu pourrais par exemple supposer par l'absurde que $b\neq d$.
- AzertybobPosteur Motivé
- Messages : 43
Re: Raisonnement par l'absurde
Sam 27 Aoû - 21:10
Supposons par l'absurde que $b≠d$
donc on a $$ a-c = (d-b)\sqrt(2) $$
d'où $$\sqrt(2)= \frac{(a-c)}{(d-b)}$$
Or la différence de nombres rationnels est un nombre rationnel, on a $\sqrt(2)$, irrationnel, qui est égal au quotient de 2 nombres rationnels, c'est donc absurde.
On en conclus que $b=d$
Il vient donc: $$a+b\sqrt(2) = c + b\sqrt(2)$$
D'où $a=c$.
Je crains un manque de rigueur dans cette démo.. :/
donc on a $$ a-c = (d-b)\sqrt(2) $$
d'où $$\sqrt(2)= \frac{(a-c)}{(d-b)}$$
Or la différence de nombres rationnels est un nombre rationnel, on a $\sqrt(2)$, irrationnel, qui est égal au quotient de 2 nombres rationnels, c'est donc absurde.
On en conclus que $b=d$
Il vient donc: $$a+b\sqrt(2) = c + b\sqrt(2)$$
D'où $a=c$.
Je crains un manque de rigueur dans cette démo.. :/
Re: Raisonnement par l'absurde
Sam 27 Aoû - 23:08
Non c'est exactement ça, c'est très bien comme ça !
- AzertybobPosteur Motivé
- Messages : 43
Re: Raisonnement par l'absurde
Dim 28 Aoû - 9:22
Pour le 2)
Supposons que $\sqrt{3}$ est rationnel.
Il existe donc $p$ et $q$ entiers relatifs premiers entre eux tels que:
$$\sqrt{3}= \frac{p}{q}$$
D'où: $$3q²=p²$$ i.e 3 divise $p$.
Ainsi, il existe $p'$ entier relatif tel que: $p=3p'$
Donc $$q²=3(p')²$$ i.e 3 divise $q$.
Ainsi p et q ont 3 pour diviseur commun, ce qui est absurde car on les a supposé premiers entre eux.
On en conclus donc que $\sqrt{3}$ est irrationnel.
Quant à la généralisation, je sais pas trop comment la rédiger, mais ça semble assez évident:
Pour tout $n$ entier naturel non carré parfait, $\sqrt{n}$ est irrationnel.
Ce qui pose un souci c'est que la propriété que j'utilise dans la démo: "Si $a$ divise $b²$ alors $a$ divise $b$" ne s'applique que pour $a$ premier non?
Supposons que $\sqrt{3}$ est rationnel.
Il existe donc $p$ et $q$ entiers relatifs premiers entre eux tels que:
$$\sqrt{3}= \frac{p}{q}$$
D'où: $$3q²=p²$$ i.e 3 divise $p$.
Ainsi, il existe $p'$ entier relatif tel que: $p=3p'$
Donc $$q²=3(p')²$$ i.e 3 divise $q$.
Ainsi p et q ont 3 pour diviseur commun, ce qui est absurde car on les a supposé premiers entre eux.
On en conclus donc que $\sqrt{3}$ est irrationnel.
Quant à la généralisation, je sais pas trop comment la rédiger, mais ça semble assez évident:
Pour tout $n$ entier naturel non carré parfait, $\sqrt{n}$ est irrationnel.
Ce qui pose un souci c'est que la propriété que j'utilise dans la démo: "Si $a$ divise $b²$ alors $a$ divise $b$" ne s'applique que pour $a$ premier non?
Re: Raisonnement par l'absurde
Dim 28 Aoû - 11:55
Oui c'est ok pour $\sqrt{3}$. Pour la généralisation, je te propose de prouver que si $\sqrt{n}$ est rationnel, alors $n$ est un carré parfait. Donc par contraposition, si $n$ n'est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel.
- AzertybobPosteur Motivé
- Messages : 43
Re: Raisonnement par l'absurde
Dim 28 Aoû - 12:52
Soit n un entier naturel. Prouvons que si $\sqrt{n}$ est rationnel alors $n$ est un carré parfait.
Il existe donc $p$, $q$ entiers relatifs, premiers ente eux tels que:
$\sqrt{n}= \frac{p}{q}$ d'où $n= \frac{p²}{q²}$.
Comme n est un entier, $q²$ divise $p²$ donc $q$ divise $p²$.
Or comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux d'après le théorème de Gauss, $q$ divise $p$, i.e $q=1$.
Ainsi, $\sqrt{n}= p$ d'où $n=p²$, donc n est bien un carré parfait.
Par contraposition, on obtiens: si $\sqrt{n}$ est irrationnel alors $n$ n'est pas un carré parfait.
Il existe donc $p$, $q$ entiers relatifs, premiers ente eux tels que:
$\sqrt{n}= \frac{p}{q}$ d'où $n= \frac{p²}{q²}$.
Comme n est un entier, $q²$ divise $p²$ donc $q$ divise $p²$.
Or comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux d'après le théorème de Gauss, $q$ divise $p$, i.e $q=1$.
Ainsi, $\sqrt{n}= p$ d'où $n=p²$, donc n est bien un carré parfait.
Par contraposition, on obtiens: si $\sqrt{n}$ est irrationnel alors $n$ n'est pas un carré parfait.
Re: Raisonnement par l'absurde
Dim 28 Aoû - 14:32
Oui, je confirme !
- AzertybobPosteur Motivé
- Messages : 43
Re: Raisonnement par l'absurde
Dim 28 Aoû - 16:05
Pour le 3)
Supposons que $\frac{ln3}{ln2}$ est rationnel.
Il existe donc $p$ et $q$ entiers relatifs premiers entre eux tels que:
$$\frac{ln3}{ln2}= \frac{p}{q}$$
D'où $q*ln(3)=p*ln(2)$
Donc $ln(3^{q})=ln(2^{p})$ avec $3^{q}>0$ et $2^{p}>0$
Donc on a: $3^{q}=2^{p}$
Or $3^{q}$ est impair et $2^{p}$ est pair, ils ne peuvent donc être égaux.
On en conclus donc que $\frac{ln3}{ln2}$ est irrationnel.
Supposons que $\frac{ln3}{ln2}$ est rationnel.
Il existe donc $p$ et $q$ entiers relatifs premiers entre eux tels que:
$$\frac{ln3}{ln2}= \frac{p}{q}$$
D'où $q*ln(3)=p*ln(2)$
Donc $ln(3^{q})=ln(2^{p})$ avec $3^{q}>0$ et $2^{p}>0$
Donc on a: $3^{q}=2^{p}$
Or $3^{q}$ est impair et $2^{p}$ est pair, ils ne peuvent donc être égaux.
On en conclus donc que $\frac{ln3}{ln2}$ est irrationnel.
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