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vin777
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exercice 1èreS/TermS Empty exercice 1èreS/TermS

le Mer 30 Aoû - 21:49
bonjour j'ai vraiment besoin d'aide, mon professeur nous a donné des exercices pour preparer la rentrée en TS et je n'arrive pas trop celui là:

Pour tout les n>=2, pour tous les x dans R- : gn(x) = ( exp(x) / n ) - x - 1

[b]a .   quelles sont les variations de la fonction  sur R- ?[/b]
[i]comment montrer précisément que la fonction est bien dérivable? le 1/n me bloque Mad  
En dérivant j'obtiens gn'(x)= ( exp(x) / n ) - 1 puis je n'arrive pas à trouver le signe (le 1/n me dérange toujours)[/i]
[b]b . démontrer qu'il existe un seul réel Vn<=0 tel que l'on a cette égalité :    exp(Vn) /  n    =    Vn + 1
[/b]
[i]selon moi il faut utiliser la monotonie qui découle de la question précédente et montrer que gn(x)=0 (je ne sais pas comment montrer ça) ensuite je remplace le x par Vn[/i]
[b]c . comparer Vn et -1 puis étudier la monotonie de la suite (Vn) pour tout n>=2
[/b]
[i]alors là j'ai aucune idée mais rien du tout lol! [/i]
[b]d . après avoir exprimer la monotonie, montrer que (Vn) converge et préciser sa limite que l'on notera L
[/b]
[i]là non plus je n'ai pas d'idée mais j''en aurai sans doute une en répondant à la précédente question jocolor [/i]


Merci d'avance pour votre aide Very Happy Very Happy
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le Mer 30 Aoû - 22:11
Re-salut.

On démarre dans l'ordre avec la question a) Twisted Evil

Si tu fixes un entier $n\geq 2$ (j'imagine que $n$ désigne un entier même si ce n'est pas précisé), alors $\frac{1}{n}$ est une constante et donc la fonction $g_n$ est bien dérivable.

Ensuite, ta dérivée est correcte : $g_n'(x)=\frac{1}{n}e^x-1$.

Ensuite, $g_n'(x)\leq 0\Leftrightarrow \frac{1}{n}e^x-1\leq0\Leftrightarrow \frac{1}{n}e^x\leq 1\Leftrightarrow e^x\leq n\Leftrightarrow x\leq ln(n)$.

Dis moi si ça t'aide ou ce qui te gêne.
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vin777
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le Jeu 31 Aoû - 16:58
Je comprends la démarche mais en quoi cela peut m'aider pour faire le tableau de signe? je ne vois pas quoi conclure avec x<=ln(n) ..
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le Jeu 31 Aoû - 17:34
Un autre indice : comme $n\geq 2$, alors $ln(n)\geq ln(2)$ (car la fonction $ln$ est croissante sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$), et $ln(2)$ vaut environ $0,69$.
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vin777
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le Jeu 31 Aoû - 18:06
je ne vois toujours pas ce que je peux conclure Crying or Very sad
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le Jeu 31 Aoû - 18:15
De $g_n'(x)\leq 0\Leftrightarrow \frac{1}{n}e^x-1\leq0\Leftrightarrow \frac{1}{n}e^x\leq 1\Leftrightarrow e^x\leq n\Leftrightarrow x\leq ln(n)$, tu déduis que si $x\leq ln(n)$, alors $g_n'(x)$ est négatif et donc que $g_n$ est décroissante sur $]-\infty;ln(n)]$. En particulier, comme $0\leq ln(2)\leq ln(n)$ (mon indice précédent), alors $g_n$ est décroissante sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$.
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vin777
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le Jeu 31 Aoû - 18:20
ah j'ai compris !! jocolor jocolor je me sens bête tout d'un coup alors que c'était super simple Very Happy

passons maintenant à la question b.:
gn est décroissante sur R-, il faut montrer que gn(x)=0 sur cet intervalle
dès qu'on a montré ça il suffit de remplacer le x par Un (Un appartient à R- comme x) et le tour est joué

je propose comme idée (si c'est la meilleure et surtout la plus rapide) de faire la limite en -infini et 0, c'est une bonne piste ou je me complique trop?
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le Jeu 31 Aoû - 18:34
Eureka Laughing

Tu peux réécrire la suite des questions en Latex, pour y voir mieux ? cyclops
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vin777
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le Ven 1 Sep - 12:39
[b]b . démontrer qu'il existe un seul réel V[sub]n[/sub]<=0 tel que l'on a cette égalité : exp(V[sub]n[/sub]) / n = V[sub]n[/sub] + 1
[/b]

[b]c . comparer V[sub]n[/sub] et -1 puis étudier la monotonie de la suite (V[sub]n[/sub]) pour tout n>=2[/b]
[i]pour cette question il faut utiliser la réponse de la précédente mais je ne vois pas quoi faire[/i]

[b]d . après avoir exprimer la monotonie, montrer que (V[sub]n[/sub]) converge et préciser sa limite que l'on notera L
[/b] [i]idem ici jocolor [/i]
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le Ven 1 Sep - 19:17
Pour la question b), tu peux utiliser le théorème de la bijection appliquée à la fonction $g_n$ (ce que tu proposes !).
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vin777
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le Sam 2 Sep - 16:48
d'acord c'est compris, et pour la question c. maintenant ?  Very Happy
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