sujet BTS exercice 1

Bonjour, voilà le sujet que je dois faire et j'ai pas tout compris :
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BTS_SIO_facul_Polynesie_2014.pdf

Exercice 1
f(x) = -x^3+7x²-11x+6
Partie A :
1.a
Le coût maximal est de 10,5 centimes ?
1.b
Il est atteint lorsque x = 3,6 en abscisse (je sais pas si faut répondre autre chose, ou le démontrer...)

2. Le coût d'un fichier de stockage de 2GO vaut 4 centimes.

Partie B :
1. g(x)= -2x*ln(x)+4x+2
g'(x) = (forme u*v' ==> u'v+uv'?) : u = -2x v = ln(x) u'= -2 v'= 1/x
g'(x)= -2*1/x + (-2x * ln(x)) +4
g'(x) = -2/x - 2x*ln(x) +4 (donc voilà jvois pas comment aller plus loin et trouver la dérivé come dans le sujet )


2. Inéquation 1-ln(x) > 0 sur l'intervalle [1:4]
1 - ln(x) > 0
1 > ln(x)
e(1) > e^(ln(x))
1 > x ?? (je suis pas sûr du tout)


3. Tableau de variation jvois pas du tout car pas trop compris la dérivée


4. Tableau de valeurs : Ca c'est ok, j'ai compris.

5. Je pense savoir la tracer.

Partie C :
1.a
f(x) = -x^3+7x²-11x+6

F(x) = -x^4/4 + 7x^3/3 - 11x²/2 + 6x c'est bon non ?
f'(F(x)) = 4x^3/4 + 7*3x²/3 - 11x +6
= x^3 + 21x²/3 -11x +6
= x^3 +7x² (pas sur si on peut faire ca directement) - 11 x +6

donc c'est bien une primitive de f(x)

1.b

F(4) = -1/4 * 4^4 + 7/3*4^3 - 7/2 *4² + 6*4 = 53.33
F(1) = -1/4 * 1^4 + 7/3*1^3 - 7/2 *1² + 6*1 = 4.58

Valeur Moyenne = 1 / 3 * 48,75 = 16,25.... (jcomprends pas)

1.c
Je ne sais pas

Salut,

Je viens tout juste de rentrer chez moi. Je te réponds dès demain :-)

Re-salut,

Ta partie A est correcte. Pour la dernière question, tu peux également la résoudre à l'aide d'un calcul : en regardant $f(2)$.

Dans la partie B, question 1. Tu t'es planté dans l'application de la formule pour le calcul de la dérivée. Tu as posé

$u(x)=-2x$ et $v(x)=ln(x)$

donc $u'(x)=-2$ et $v'(x)=\frac{1}{x}$, ça c'est ok. Par contre, ensuite on obtient :

$g'(x)=-2ln(x)+(-2x\frac{1}{x})+4$ (je te laisse terminer le calcul pour arriver à la réponse)

Partie B, question 2. Ta méthode est correcte, mais attention $e^1=e$. Et n'oublie pas dans quel intervalle on regarde les solutions pour ta réponse finale.

Partie B, question 3. Question très importante. Le signe de la dérivée d'une fonctionne te "donne" la variation de la fonction : si $f'(x)\geq 0$ quand $x\in [a;b]$, alors $f$ est croissante sur cet intervalle. Et inversement : si $f'(x)\leq 0$ quand $x\in [a;b]$, alors $f$ est décroissante sur cet intervalle. Tu dois donc utiliser l'expression de la dérivée calculée au-dessus pour trouver les variations de la fonction $g$.

Partie B, questions 4 et 5. Facile.

Je regarde la suite bientôt.

Partie B :
question 1 :
-2ln(x) + (-2x * 1/x) +4
-2ln(x) + (-2x/x *1/x)+4
-2ln(x) - 2x/x +4
jvois pas comment aller plus loin, je pense on doit factoriser mais je sais plus faire x) (je sais c'est triste)

Partie B question 2
S{1} dans l'intervalle [1;4]


Partie B question 3
La dérivée est sous la forme 2[1-ln(x)]
je pense que c'est pas pour rien
vu que c'est un logarithme, la fonction est positive sur [1;4]
Tableau de variation:
$x$          1           4
$g'(x)$         +
$g(x)$   croissante sur [1:4]



$g(x)$ est croissante sur cet intervalle ?
et $g(x)$ est positive sur [1:4]

Question 1. $g'(x)=-2ln(x)+(-2x\frac{1}{x})+4=-2ln(x)+(-2)+4=-2ln(x)+2=2(1-ln(x))$. Effectivement, c'est une factorisation

Question 2. $1-ln(x)>0$ équivaut à $1>ln(x)$ équivaut à $e>x$ donc $x\in [1,e]$.

Question 3. On sait que $g'(x)=2(1-ln(x))$ et on veut regarder le signe de $g'(x)$ : il dépend de $(1-ln(x))$ (car $2$ est positif). Comme $1-ln(x)$ est positif quand $x\in [1,e]$ d'après la question précédente, alors $g'(x)>0$ sur $[1,e]$. De même, $g'(x)<0$ sur $[e,4]$. Je te laisse conclure sur le sens de variation de $g$.