sujet BTS exercice 1

Bonjour, voilà le sujet que je dois faire et j'ai pas tout compris :
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BTS_SIO_facul_Polynesie_2014.pdf

Exercice 1
f(x) = -x^3+7x²-11x+6
Partie A :
1.a
Le coût maximal est de 10,5 centimes ?
1.b
Il est atteint lorsque x = 3,6 en abscisse (je sais pas si faut répondre autre chose, ou le démontrer...)

2. Le coût d'un fichier de stockage de 2GO vaut 4 centimes.

Partie B :
1. g(x)= -2x*ln(x)+4x+2
g'(x) = (forme u*v' ==> u'v+uv'?) : u = -2x v = ln(x) u'= -2 v'= 1/x
g'(x)= -2*1/x + (-2x * ln(x)) +4
g'(x) = -2/x - 2x*ln(x) +4 (donc voilà jvois pas comment aller plus loin et trouver la dérivé come dans le sujet )


2. Inéquation 1-ln(x) > 0 sur l'intervalle [1]
1 - ln(x) > 0
1 > ln(x)
e(1) > e^(ln(x))
1 > x ?? (je suis pas sûr du tout)


3. Tableau de variation jvois pas du tout car pas trop compris la dérivée


4. Tableau de valeurs : Ca c'est ok, j'ai compris.

5. Je pense savoir la tracer.

Partie C :
1.a
f(x) = -x^3+7x²-11x+6

F(x) = -x^4/4 + 7x^3/3 - 11x²/2 + 6x c'est bon non ?
f'(F(x)) = 4x^3/4 + 7*3x²/3 - 11x +6
= x^3 + 21x²/3 -11x +6
= x^3 +7x² (pas sur si on peut faire ca directement) - 11 x +6

donc c'est bien une primitive de f(x)

1.b

F(4) = -1/4 * 4^4 + 7/3*4^3 - 7/2 *4² + 6*4 = 53.33
F(1) = -1/4 * 1^4 + 7/3*1^3 - 7/2 *1² + 6*1 = 4.58

Valeur Moyenne = 1 / 3 * 48,75 = 16,25.... (jcomprends pas)

1.c
Je ne sais pas

Salut,

Je viens tout juste de rentrer chez moi. Je te réponds dès demain :-)

Re-salut,

[b]Ta partie A est correcte.[/b] Pour la dernière question, tu peux également la résoudre à l'aide d'un calcul : en regardant $f(2)$.

[b]Dans la partie B, question 1.[/b] Tu t'es planté dans l'application de la formule pour le calcul de la dérivée. Tu as posé

$u(x)=-2x$ et $v(x)=ln(x)$

donc $u'(x)=-2$ et $v'(x)=\frac{1}{x}$, ça c'est ok. Par contre, ensuite on obtient :

$g'(x)=-2ln(x)+(-2x\frac{1}{x})+4$ (je te laisse terminer le calcul pour arriver à la réponse)

[b]Partie B, question 2.[/b] Ta méthode est correcte, mais attention $e^1=e$. Et n'oublie pas dans quel intervalle on regarde les solutions pour ta réponse finale.

[b]Partie B, question 3.[/b] Question très importante. Le signe de la dérivée d'une fonctionne te "donne" la variation de la fonction : si $f'(x)\geq 0$ quand $x\in [a;b]$, alors $f$ est croissante sur cet intervalle. Et inversement : si $f'(x)\leq 0$ quand $x\in [a;b]$, alors $f$ est décroissante sur cet intervalle. Tu dois donc utiliser l'expression de la dérivée calculée au-dessus pour trouver les variations de la fonction $g$.

[b]Partie B, questions 4 et 5.[/b] Facile.

Je regarde la suite bientôt.

Partie B :
question 1 :
-2ln(x) + (-2x * 1/x) +4
-2ln(x) + (-2x/x *1/x)+4
-2ln(x) - 2x/x +4
jvois pas comment aller plus loin, je pense on doit factoriser mais je sais plus faire x) (je sais c'est triste)

Partie B question 2
S{1} dans l'intervalle [1;4]


Partie B question 3
La dérivée est sous la forme 2[1-ln(x)]
je pense que c'est pas pour rien
vu que c'est un logarithme, la fonction est positive sur [1;4]
Tableau de variation:
$x$          1           4
$g'(x)$         +
$g(x)$   croissante sur [1]



$g(x)$ est croissante sur cet intervalle ?
et $g(x)$ est positive sur [1]

[b]Question 1.[/b] $g'(x)=-2ln(x)+(-2x\frac{1}{x})+4=-2ln(x)+(-2)+4=-2ln(x)+2=2(1-ln(x))$. Effectivement, c'est une factorisation

[b]Question 2.[/b] $1-ln(x)>0$ équivaut à $1>ln(x)$ équivaut à $e>x$ donc $x\in [1,e]$.

[b]Question 3.[/b] On sait que $g'(x)=2(1-ln(x))$ et on veut regarder le signe de $g'(x)$ : il dépend de $(1-ln(x))$ (car $2$ est positif). Comme $1-ln(x)$ est positif quand $x\in [1,e]$ d'après la question précédente, alors $g'(x)>0$ sur $[1,e]$. De même, $g'(x)<0$ sur $[e,4]$. Je te laisse conclure sur le sens de variation de $g$.