Homotopies et indice d'un lacet

Hey !

J'ai plusieurs questions qui concernent les homotopies et les indices d'un lacet.

Tout d'abord, je m'interroge sur la définition d'un ouvert simplement connexe qui est la suivante:

"U est simplement connexe si U est un connexe non vide et s'il existe z0 € U tel que tout lacets basés en z0 sont homotopes."

On fait ensuite le joli dessin qui va avec, qui montre qu'on peut déformer continument un lacet pour en obtenir un autre etc. Est ce qu'on ne peut pas montrer qu'en réalité ceci est vrai POUR TOUT z0 € U ? Je n'ai aucune ébauche de démonstration, cela dit quand je regarde le dessin, je ne vois pas comment je ne pourrais pas trouver de z0 pour lequel ça ne fonctionne pas ...

Concernant les indices, nous avons définie Ind_gamma( z0 ) comme étant l'entier 1/(2i pi) [intégrale sur gamma] dz / (z - z0). On a basé tout nos calculs sur cette définition en analyse complexe. Sauf que mon prof de TD m'a dit que l'indice, avec l'expérience, on le pose directement égal à un car il est égal au nombre de fois que le lacet tourne autour de z0.
Et c'est cohérent avec certains calculs déjà fait (par exemple, l'indice du cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique autour de 0). Comment montrer cependant que cette égalité est toujours vraie ? Si le point en question est dans la composante connexe non bornée, c'est 0, ce qui est cohérent (le lacet ne tourne pas autour du point, donc 0). Mais pour le reste, si je prends le lacet le plus pourris du monde, qu'est ce qui me permet d'affirmer que l'indice de ce lacet en z0 corresponds au nombre de fois qu'il tourne autour de z0 ?

Pour tenter une démonstration, je me suis inspiré de ce que m'a dit mon prof de TD, qui me voyait perplexe devant ça. En fait, dans l'exo que je faisais, je devais calculer l'indice autour d'un point sur le lacet qui représente le demi-cercle parcouru dans le sens positif de 1 à -1, puis relie -1 à 1 (sinon on aurait pas un lacet). Il m'a dit que ce lacet était homotope au cercle unité, donc les intégrales sont les mêmes. Et l'indice sur le cercle unité, on sait calculer, c'est pas difficile (surtout que le point en question était dans la même composante connexe que 0, donc c'est encore plus simple). Donc j'ai cherché à généraliser ceci: on travaille dans C, le plus gentil des ouverts simplement connexe. Prenons deux lacets absolument quelconque basé en z0, quelconque aussi. Est ce que ces deux lacets sont homotopes ?
Cette dernière question rejoint un peu ma première question, car si la réponse venait à être oui, on aurait trivialement la même réponse pour ce paragraphe. Du coup, ça me permettrait de montrer ce que je veux en transformant chacun de mes lacets en cercle centré en 0 (pourvu que le rayon soit assez grand bien sûr).

Merci d'avance pour votre aide o/

Salut,
Alors en effet pour ta première question : ça ne dépend pas du $z_0$ choisi (en supposant ton ouvert connexe par arc). Pour t'en convaincre si tu prends un autre point $z_1$ il te suffit de prendre un chemin de $z_1$ vers $z_0$ pour refaire un autre lacet.
Du coup pour la seconde question c'est oui. Si tu es dans $\mathbb{C}$, qui est simplement connexe, alors tes deux lacets sont homotopes.

Formidable ! Merci !

Dois-je en conclure que la réponse à la première question n'est vraie que si on suppose l'ouvert connexe par arc ? Peut-on trouver un exemple de simplement connexe non connexe par arc pour lequel la réponse est non ?

Du coup, en tout cas, pour la deuxième question, vu qu'on travaille dans C qui est connexe par arc, c'est parfait ! Tout lacet basé en un z0 quelconque est homotope à n'importe quel lacet basé lui aussi en z0. Du coup, pour montrer l'égalité avec l'indice, je peux prendre un cercle assez grand qui contient tout le lacet, avec un point en commun (a priori l'image du lacet étant fermé, j'imagine qu'on peut trouver un tel cercle). Les deux lacets ayant un point commun, leur intégrale est égale, et donc l'indice en z0 pour mon lacet, c'est le même que l'indice en z0 pour le cercle, que je sais calculer.

Il te suffit de trouver un ouvert connexe mais pas connexe par arc qui convienne. L'exemple classique est le graphe de $sin(\frac{1}{x}) \cup \left( \lbrace 0 \rbrace \times [-1,1] \right)$ mais ses composantes connexes par arc sont aussi simplement connexe.
Je n'ai pas trop d'idée sous la main, je vais voir si j'en trouve d'autre, en particulier les exemples de connexes non connexes par arcs sont toujours un peu "farfelus".

Ok j'ai.
Tu prends $$A = \lbrace (x, \sin(\frac{1}{x})) \ |\ x > 0 \rbrace \cup C$$ où $C$ est le carré dont les sommets sont les points $(0,1),(0,-1),(-1,-1),(-1,1)$. Alors $A$ est connexe : c'est la réunion de $C$ et de l'exemple de mon message précédent avec une intersection non vide donc c'est connexe. Pourtant les composantes connexes par arc sont le graphe et le carré. Or le graphe est simplement connexe (c'est homéomorphe à $\mathbb{R}_+^*$) et le carré n'est pas simplement connexe.
Sur un dessin c'est clair.