Exo: équation différentielle

Bonsoir, je poste ici un exercice dans le but de comprendre la notion sur les équations diff.


[u][b]De type: y'=ay+b[/b][/u]
Remettre l’équation sous la bonne forme avant d’effectuer tout calcul, repérer les valeurs de a et b.

[color:c9c0=#006600][b]Déterminer la solution de l’équation différentielle satisfaisant la condition proposée : y’ + 4y + 3 = 0, y(0) = 1.[/b][/color]

Je mets sous la bonne forme en transposant: y'= -4y -3.

D'où a=-4 et b= -3

Je passe par le trinôme: r^2 + ar + b = 0

Qui me donne alors: r^2 - 4r - 3 = 0

J'utilise le discriminant: b^2 - 4ac.
= (-3)^2 - 4x9xc
= 9 - 36c

Et là je suis bloquée car je ne connais pas c.

J'utilise alors: a^2 - 4b, et je trouve:
(-4)^2 - 4x(-3)
= 16 + 12
= 28 > 0

Donc là je ne sais plus trop quoi faire, si je dois trouver deux solutions comme ce qu'on a l'habitude de faire avec le discriminant, donc dans le doute, j'essaie:

r1 = -b + racine de (a^2-4b)/ 2ab

r2= -b - racine de (a^2-4ab)/ 2ab

Qui nous donne alors:

r1= 3 + racine de 28 / 24

r2= 3 - racine de 28 / 24

Je simplifie par 3:
r1 = 3.5
r2 = -3.5

f1(x) = e^3.5x

f2(x) = e^(-3.5)x

En sachant que y(0) = 1, on a:

f1(0)= e^3.5x0 = e^0 = 1
f2(0) = IDEM

S(E)= Vect(f1,f2) ????????

Et là je sèche, d'ailleurs je suis pas très assurée de ce que j'ai fait... d'autant plus que si on reprend le polynôme: y’ + 4y + 3 = 0, on devrait trouver que y'= -7 avec mes résultats...

Hello,
Du coup là, on est dans un cas beaucoup plus simple... Les solutions de ce type d'équation sont les fonctions \(f(x)=ke^{ax}-\frac{b}{a}\) avec \(k\in\mathbb{R}\).

[quote:4bd7="Professeur J"]\(f(x)=ke^{ax}-\frac{b}{a}\) avec \(k\in\mathbb{R}\).[/quote]

Ohlala quel charabia !

Mais alors il y a un type de solution pour chaque type d'équation ?
Puis-je avoir la liste de qui va avec quoi ?

Que vaut k ? Et mathbb ?

Ce n'est pas du charabia, c'est juste un fail latex je pense

ton équa diff c'est (E) :  y’ + 4y + 3 = 0 (ne nous préoccupons pas de y(0) = 1 on résout juste cette équa diff)

(E) <=> y'+4y = -3 à cette équation (E) tu associes (H) l'équation homogène de (E) : y'+4y = 0 (tu vires tout ce qui ne dépend pas de y)

tu résous ça, pour cela il faut savoir que pour une équation linéaire d'ordre 1, les solutions de l'équation homogène, qui se présente comme y'+a(x)y = 0, et en notant A une primitive de a, est S[sub]H[/sub] = {kexp(-A) / k de R} ou encore vect(exp(-A))

ça c'est la solution de l'équation homogène, ici a est constante, en trouver une primitive ne devrait pas être trop difficile. Pour résoudre E, il faut en plus trouver f une solution particulière de E, ici f'+4f = -3 je pense pas que ça soit trop compliqué

Ensuite tu as S[sub]E[/sub] = S[sub]H[/sub] + {f} = {kexp(-A)+f  / k de R}

Toi ton erreur a été de dire que ton équation différentielle était d'ordre 2 alors que la dérivé seconde de y n'apparaissait pas donc fait attention la prochaine fois !

Et pour résoudre ce problème de Cauchy, il suffit juste de prendre un y de S[sub]E[/sub] avec y(0) = 1, il te reste plus qu'à déterminer K !

J'espère que j'ai été compréhensible

Hello,

Tout d'abord, pour que vous puissiez lire mon "charabia", je vous dirige vers https://mathsendirect.forumactif.org/t49-comment-inserer-des-formules-mathematiques-dans-vos-messages :-D

Ça lui donnera un aspect bien plus joli

Ensuite Banane, il faudrait que tu saches quels types d'équa diff vont t'intéresser l'an prochain parce qu'il y en a... plein ! Et ensuite on pourra te dire ce que tu as à savoir.

[quote:af28="Vaxium"]J'espère que j'ai été compréhensible [/quote]

Non. (ça doit être le verbiage matheux...)

Ensuite vous ne répondez pas à mes questions...

Qu'est ce que Vect(f1,f2) ?

Qu'est ce que k, etc ?

C'est quoi premier ordre, second ordre ?

a(x) = 4 ? -4 ?

Mais si a=4, alors ça fait 4(x), 4x ???

En fait Professeur_J, je ne vois pas comment je peux résoudre un exercice si je n'ai pas les bases du cours...
J'ai cherché sur internet mais ils n'expliquent rien, help !

PS: Le charabia n'est pas le fail latex, le charabia c'est les données que tu mets dedans.

Tu as cliqué sur le lien que je t'ai donné déjà ?

Et sinon, dis moi l'intitulé de ton programme, pour que je te dise ce qu'il faut savoir parce que les "équa diff" c'est très large ;-)

Oui.

équations différentielles linéaires d'ordre 1 et des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants.

équations de la forme y′=ay+b (y fonction réelle) avec a et b constants, équations de l'oscillateur harmonique y′′+ω2y=0, équations avec amortissement y′′+ay′+by=0.

Donc on commence par cet exercice mais depuis hier je ne suis pas plus avancée que ça, j'aimerai finir ce chapitre avant la rentrée d'ailleurs j'ai plusieurs autres chapitres à voir avant la rentrée.

Ok, j'imagine que quand tu dis "on", tu fais une prépa ? Tu as pas eu de poly de cours avec ça ?

Si personne ne te répond d'ici ce soir, je te répondrai ce soir mais je ne suis pas dispo jusqu'à 21h

[quote:6f43="Professeur J"]Ok, j'imagine que quand tu dis "on", tu fais une prépa ? Tu as pas eu de poly de cours avec ça ?[/quote]

Nope pas de prépa mais une pré-rentrée de tutorat fin août, quand je dis "on" je pensais à nous deux

quand on écrit vect(u) et qu'on ne sait pas ce que c'est qu'un espace vectoriel c'est assez moche mais bon
vect(f1,f2) c'est l'ensemble des fonctions qui sont des combinaisons linéaires de f1 et de f2
Autrement dit E=vect(f1,f2) = {af1+bf2 / (a,b) de R²}
Le / veut dire avec
(a,b) de R² veut dire que a et b sont deux réels
par exemple 3*f1+2f2 est un élément de E
Pareil pour 7f2 ou f1-f2

pour y′′+ω²y=0 les solutions sont {acos(ωx)+bsin(ωx) / (avec !) (a,b) de R²} c'est à savoir par coeur en physique
sauf qu'en général tu auras d'autres informations comme par exemple y(0) et y'(0) (conditions initiales )
Quand tu as un problème avec ces informations, (pas obligatoirement en 0 ) ça s'appelle un problème de cauchy et il y a unicité de la solution
donc tu peux directement écrire que y = acos(wx)+bsin(wx) (seulement en physique, en maths il faudrait  préciser que c'est un problème de cauchy donc il existe a b dans R tq y = le truc :hap: )

tu peux aussi écrire la solution comme y = Ccos(wx+B) et trouver C et B via les conditions initiales

Pour les équas diffs du style y"+ay'+by = 0 il faut prendre l'équation caractéristique de cette équa différentielle
C'est à dire ici r²+ar+b = 0
tu calcules le discriminant, ici on a 3 cas dépendant de d = delta = a²-4b
Premier cas d = 0, alors l'équation caractéristique possède une solution e


et S = {(cx+d)exp(ex) / (c,d) de R²}


deuxième cas d>0 donc l'équation caractéristique possède deux solutions e et f


et S = {cexp(ex)+dexp(fx)/(c,d) de R²}


troisième cas d<0 donc l'équation caractéristique possède deux solutions z et le conjugué de z
et S= [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7BBmatrix%7D%20%5Cexp%20%28Re%28z%29x%29%28%5Clambda%20cos%28Im%28z%29x%29+%5Cmu%20sin%28Im%28z%29x%29%29/%28%5Clambda%2C%20%5Cmu%20%29%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B2%7D%20%5Cend%7BBmatrix%7D[/img] (celle là je l'ai bien écrite sinon illisible)

je rappel que si z = a+ib alors Re(z) = a et Im(z) = b et que le conjugué de z est a-ib

Hey molo, elle sort d'une terminale et elle prépare médecine, donc elle est tout à fait dans des droits de ne pas connaître la définition d'un espace vectoriel :-D

j'ai rien dit de mal  je disais juste que c'est difficile d'interpréter vect(truc) sans avoir fait d'algèbre linéaire
je me doute bien qu'au bac + 0 on a même pas encore fait de logique. Ce que je trouve bizarre par contre, c'est équa diff pendant les vacances

Tout à fait Professeur

Vaxium c'est très gentil de ta part de m'aider, vraiment merci !!!
Mais je pense que la seule manière de comprendre pour moi serait [b]qu'on me donne un [u]exemple[/u][/b], si possible qu'on résolve l'exercice que j'ai posté que je sache comment m'y prendre plutôt que me dire tu dois trouver un truc comme ci comme ça, si encore je savais comment y parvenir... (et carrément de quoi on parle   )

Et que vaut "k" ? Que vaut "lambda" ? Que vaut "r" ? Toutes ces questions que j'ai posté plus tôt me permettraient d'y voir clair.

C'est pas pour que vous fassiez le boulot à ma place, car de toute façon je ne serai pas plus avancée et je remettrai un autre exercice du même type pour voir si j'ai compris.

y’ + 4y + 3 = 0, y(0) = 1.

On a l'équation différentiel (E) : y'+4y = -3
Dans cette exemple il faut bien comprendre qu'on ait dans une équation linéaire du premier ordre

Donc pour la résolution il faut regarder mon premier poste
Déjà rappel sur les termes : équations différentielles linéaire de premier ordre : c'est une équation ([b]équation[/b]) de fonctions dérivable ([b]différentielles[/b]) présenté en somme (on a pas de 1/y ou de 1/y' ou de yy') ([b]linéaire[/b]) qui fait intervenir seulement sa dérivé première y' (obligatoire) et y (pas obligé c'est à dire que y'=0 est une équa diff linéaire de première ordre) ([b]premier ordre[/b])

Mon dernier poste parlait uniquement des équations différentielles du 2nd ordre (donc y'' intervient obligatoirement et (y et y') peut intervenir


Il faut s'aider de mon premier poste qu'on va essayer de comprendre point par point


[quote:2e6d="Vaxium"]Ce n'est pas du charabia, c'est juste un fail latex je pense

ton équa diff c'est (E) :  y’ + 4y + 3 = 0 (ne nous préoccupons pas de y(0) = 1 on résout juste cette équa diff)

[color:2e6d=#FF0000][u][b][i]Premier point[/i][/b][/u][/color] (E) <=> y'+4y = -3 à cette équation (E) tu associes (H) l'équation homogène de (E) : y'+4y = 0 (tu vires tout ce qui ne dépend pas de y)

[color:2e6d=#FF0000][u][b][i]Deuxième point[/i][/b][/u][/color] tu résous ça, pour cela il faut savoir que pour une équation linéaire d'ordre 1, les solutions de l'équation homogène, qui se présente comme y'+a(x)y = 0, et en notant A une primitive de a, est S[sub]H[/sub] = {kexp(-A) / k de R} ou encore vect(exp(-A))

ça c'est la solution de l'équation homogène, ici a est constante,


[color:2e6d=#FF0000][u][b][i]troisième point[/i][/b][/u][/color]  en trouver une primitive ne devrait pas être trop difficile. Pour résoudre E, il faut en plus trouver f une solution particulière de E, ici f'+4f = -3 je pense pas que ça soit trop compliqué

Ensuite tu as S[sub]E[/sub] = S[sub]H[/sub] + {f} = {kexp(-A)+f  / k de R}

Toi ton erreur a été de dire que ton équation différentielle était d'ordre 2 alors que la dérivé seconde de y n'apparaissait pas donc fait attention la prochaine fois !



[color:2e6d=#FF0000][u][b][i]quatrième point[/i][/b][/u][/color] Et pour résoudre ce problème de Cauchy, il suffit juste de prendre un y de S[sub]E[/sub] avec y(0) = 1, il te reste plus qu'à déterminer K ! [/quote]






Premier point on élimine tout ce qui n'ai pas collé à y
y'+4y = -3 donc on associe une autre équation (H) y'+4y = 0
Si on avait 2y'+8y = 0 il faut toujours enlever ce qui est sur le y' tout simplement en divisant par 2 comme une équation normale pour retomber sur (H)




deuxième point, on cherche une primitive de ce qui est collé à y, ici c'est juste un 4
les primitives de 4 sont [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%204dx[/img] = 4x+constante
en passant l'ensemble des primitives de 4 dans R c'est [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7BBmatrix%7D%204x%20+%20constante%20/%20constante%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cend%7BBmatrix%7D[/img] je sais pas si ça t'aide à comprendre cette notation
tu prends celle que tu veux mais en général on prend le plus simple c'est à dire 4x
on applique cette formule magique  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_%7BH%7D%3D%5Cbegin%7BBmatrix%7D%20%5Clambda%20%5Cexp%28-4x%29/%20%5Clambda%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cend%7BBmatrix%7D[/img]
On a les solutions de (H) y'+4y = 0, il suffit juste de remplacer [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda[/img] par un réel pour obtenir une solution, par exemple 2exp(-4x) est une solution de H, ou encore [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cpi%5Cexp%28-4x%29[/img]

tu peux vérifier tiens, regarde avec y(x) = 2exp(-4x)
Sa dérivé c'est y'(x) = -8exp(-4x)
Tu fais y'(x) +4y(x) = -8exp(-4x) + 4*2exp(-4x)= 0 !
donc je ne mens pas

sauf que notre équation à nous, c'est y' + 4y = -3
donc on arrive au troisième point, trouver une solution particulière de (E)
ici c'est pas dur, en fait quand ce qui est à droite de l'égale est une constante, tu te casses pas la tête, tu prends y constante aussi
c'est à dire y' = 0 ! donc 4y=-3 <=> y = -3/4 ! c'est une solution de (E), mais cette équation en a une infinité, tu en as juste une particulière qui permet de conclure en disant que les solutions de E sont les solutions de H + une solution particulière de E

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_%7BE%7D%20%3D%20%5Cbegin%7BBmatrix%7D%20%5Clambda%5Cexp%28-4x%29-\frac{3}{4}%20%5C%3B%20/%20%5C%3B%20%5Clambda%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cend%7BBmatrix%7D[/img]

Sauf que ça ne répond pas totalement à ta question

Quatrième point
on rappelle l'exercice on cherche y tel que y’ + 4y + 3 = 0, y(0) = 1
Comme y est solution de E, y est forcément dans l'ensemble
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_%7BE%7D%20%3D%20%5Cbegin%7BBmatrix%7D%20%5Clambda%5Cexp%28-4x%29-\frac{3}{4}%20%5C%3B%20/%20%5C%3B%20%5Clambda%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cend%7BBmatrix%7D[/img]

Autrement dit, il existe un réel a tel que y(x) = a*exp(-4x)-3/4
Mais on connait y(0)
En effet, y(0) = a*exp(-4*0)-3/4 = a-3/4
Mais aussi y(0) = 1
Donc a-3/4 = 1 d'où a = 7/4 !

C'est à dire que notre fonction recherché est y(x) = 7/4exp(-4x) - 3/4

4y=-3 <=> y = -4/3

es-tu sûr ?

Sinon, Vaxium a beaucoup développé mais tu n'as peut-être pas besoin de tout ça... mais seulement d'appliquer la formule que je t'ai donnée plus haut sans trop te poser de questions ? Tout ça dépend vraiment du programme et ce qu'il vous demandent

[quote:1bef="Banane"]Et que vaut "k" ? Que vaut "lambda" ? Que vaut "r" ? Toutes ces questions que j'ai posté plus tôt me permettraient d'y voir clair. [/quote]

Demain j'attaque ton pavé Vaxium, et je finis ce fichu exercice !

c'est corrigé professeur
et même mis dans l'ensemble le 3/4 en fraction pour pas confondre le / de la division et le / qui signifie "avec"