Exercice sur les suites

Bonjour,

J'ai un exercice à faire sur les suites mais je bloque sur quelques questions alors si vous pouviez m'aider ça serait vraiment sympa.

Alors tout d'abord, je dois :

-Démontrer que pour tout entier naturel n : Un$\leq$n+(3/2) sachant que (Un) est définie par U0= (3/2) et que U$_{indice}n+1$ = (1/3)Un+(2/3)n+1

-Démontrer que pour tout entier n : U$_{indice} n+1$-Un = 2/3(n+3-Un)

Merci d'avance !

Bonsoir,

sais-tu raisonner par récurrence ?
C'est ce que tu dois faire pour la première démonstration.

Bonsoir !

Oui j'ai vu ça en cours.

Ici cela donnerait :

Initialisation : Pour n=0, on a U0= 0+(3/2) donc P est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons P est vraie au rang k+1
Uk$\leq$n+(3/2)

Uk+1$\leq$n+1 +(3/2)

(1/3)Un+(2/3)n+ 1$\leq$n+1 +(3/2)

Après je suis bloqué

Attention à ta rédaction

Soit Pn la propriété Un≤n+(3/2)

Initialisation : Test de P0. Ici, il est effectivement vrai.

Hérédité : Supposons Pk vrai, donc on a Uk≤k+(3/2) pour un certain k entier naturel.
Qu'en est-il de Pk+1 ?

Ensuite, avec l'hypothèse de départ, autrement dit :
Uk ≤  k + $\frac{3}{2}$

Il faut arriver à :
Uk+1 ≤ k+1 + $\frac{3}{2}$

Je te donne un indice : quels opérations faut-il faire à Un pour arriver à Un+1 ?

Sinon effectivement tu peux aussi partir de ce que tu dois conclure pour arriver à l'hypothèse de départ.

Ah oui effectivement un coup je mets k, un coup n, il faut que je fasse attention ^^

D'accord je vois ! Ca donne :

Uk ≤  k + (3/2)
(1/3)Uk ≤ (1/3)k + (3/6)
(1/3)Uk + (2/3)k ≤ k + (3/6)
(1/3)Uk +(2/3)k + 1 ≤ k + (9/6)
(1/3)Uk +(2/3)k + 1 ≤ k + (3/2)

Donc Pn est vraie au rang k+1 et Un ≤ n + (3/2)

Le raisonnement au bon au début, mais je ne comprends pas la dernière ligne :

Uk+1 ≤ Uk
En plus, ce n'est même pas ce qu'il faut démontrer

Donc je reprends l'avant-dernière ligne :
(1/3)Uk +(2/3)k + 1 ≤ k + (3/2)
Donc Uk+1 ≤ k + $\frac{3}{2}$

C'est qu'il faut prouver, c'est qu'on doit avoir :
Uk+1 ≤ k + 1 + $\frac{3}{2}$.

Or, si Uk+1 ≤ k + $\frac{3}{2}$, qu'est ce que tu peux conclure ?

Uk+1 ≤ k + (3/2). Or Uk+1 $\geq$ Uk et donc Uk ≤ k + (3/2) $\equiv$ Un ≤ n + (3/2)

On a démontré ce qu'il fallait

Pourquoi Uk+1 ≥ Uk ?

Regarde bien, on a démontré que :
Uk+1 ≤ k + (3/2)

Or, il faut démontrer que :
Uk+1 ≤ k + 1 + (3/2)

On a bien k + 1 + (3/2) > k + (3/2)

Donc Uk+1 ≤ k + (3/2) implique Uk+1 ≤ k + 1 + (3/2)

Donc la propriété Pn est héréditaire et fonctionne au rang 0, donc Pn est vraie pour tout n

D'accord je vois ! Merci en tout cas

Maintenant, démontrons que pour tout entier n : Un+1-Un = 2/3(n+3-Un) :

Comme on a pas d'expression de Un, et qu'on sait seulement que Un ≤ k + (3/2) j'imagine que je dois développer Un+1-Un

Un+1-Un = (2/3)n + (2/3)*3 - (2/3)Un = -(2/3)Un + (2/3)n + 2 et ensuite je ne vois pas trop quoi faire

Développe aussi le $2/3(n+3-U(n))$. (J'ai fait un rapide calcul mental, je crois que tu dois tomber sur le même résultat. ^^ )

[b]Oui c'est ce que j'ai fais mais comme je l'ai dis je suis bloqué içi : -(2/3)Un + (2/3)n + 2 [/b]

Tu es sûr que tu as bien recopié l'énoncé ?

Oui j'ai vérifié et c'est bien ça

Les parenthèses et tout c'est ok ?

Oui, il faut :

Démontrer que pour tout entier n : Un+1-Un = 2/3(n + 3 - Un)

Et bien ce n'est pas vrai !

C'est à dire ?

J'ai :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}u_n+\frac{2}{3}n+1-u_n=-\frac{2}{3}u_n+\frac{2}{3}n+1$$

qui est clairement différent de :

$$\frac{2}{3}(n+3-u_n)=\frac{2}{3}n+2-\frac{2}{3}u_n$$

Ah oui il doit y avoir une erreur dans l'énoncé, tu as raison
Je vais voir avec mon prof.

Ok tiens nous au courant

Ok donc rectification, il faut :

Démontrer que pour tout entier n : Un+1-Un = 2/3(n + 3/2 - Un)

Et ça marche tout de suite mieux, j'ai réussi ^^

Je m'en doutais, super

Et sinon, juste avant j'ai émis l'hypothèse que (Un) était croissante au vue des premières valeurs, et maintenant que j'ai démontré que pour tout entier n : Un+1-Un = 2/3(n + 3/2 - Un), il faut que j'en déduise que ma conjecture est bonne, donc que (Un) est bien croissante.

Pour cela, je me disais qu'on pourrait peut-être utiliser la limite de 2/3(n + 3/2 - Un).

Soit $\lim_{x\to +\infty} 2/3(n + 3/2 - Un)$ = $\lim_{x\to +\infty} 2/3$ multiplié par $\lim_{x\to +\infty}(n + 3/2 - Un)$

Or : $\lim_{x\to +\infty}(n + 3/2)$= +$\infty$ et $\lim_{x\to +\infty}Un$= +$\infty$ car Un est croissante et $\le$ à n+3/2. D'où $\lim_{x\to +\infty}(n + 3/2 - Un)$= +$\infty$

Donc, par produit $\lim_{x\to +\infty} 2/3(n + 3/2 - Un)$ = +$\infty$ et (Un) croissante.

N'oublie pas que si tu dois montrer que $(u_n)$ est croissante tu dois regarder si $u_{n+1}-u_n$ est positif

Ah oui, donc il faut prouver que Un+1-Un = 2/3(n + 3/2 - Un) est > 0.

Mais je vois pas comment...

Je vois seulement qu'on a un produit et que :

2/3 > 0

(n + 3/2 - Un) = (n+ 3/2) - Un. Or (n+ 3/2) > 0 car n E N et -Un $\geq$ -n - 3/2